Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo O_x, da região limitada pela curva y = sen x e as retas x = 0 e x = 3pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos a região limitada pela curva e pelas retas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa girar essa região em torno do eixo . Imagine pegar a curva entre e e girar isso 360 graus em torno do eixo x. O que vamos obter é uma forma tridimensional, e queremos saber qual é o volume dessa forma.

Passo 3

O método dos discos nos ajuda a calcular esse volume dividindo o sólido em infinitos discos fininhos. Cada disco tem uma espessura infinitesimal e um raio que depende da função . A área de cada disco é , ou seja, .

Passo 4

Para encontrar o volume total, integramos a área desses discos ao longo do intervalo de até . A fórmula fica assim:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Primeiro, podemos tirar o da integral:
Sabemos que pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo:
Agora, integrando termo a termo:
Portanto:
Agora, substituindo os limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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