Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pela curva
e as retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos a região limitada pela curva
e pelas retas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa girar essa região em torno do eixo
. Imagine pegar a curva
entre
e
e girar isso 360 graus em torno do eixo x. O que vamos obter é uma forma tridimensional, e queremos saber qual é o volume dessa forma.
Passo 3
O método dos discos nos ajuda a calcular esse volume dividindo o sólido em infinitos discos fininhos. Cada disco tem uma espessura infinitesimal
e um raio que depende da função
. A área de cada disco é
, ou seja,
.
Passo 4
Para encontrar o volume total, integramos a área desses discos ao longo do intervalo de
até
. A fórmula fica assim:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Primeiro, podemos tirar o
da integral:
Sabemos que
pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo:
Agora, integrando termo a termo:
Portanto:
Agora, substituindo os limites:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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centrada no valor dado de
. Ache o raio de convergência
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usando a definição de série de Taylor em
. Também encontre o raio de convergência associado
Determinar o comprimento da curva
dada em forma paramétrica por
.
Resolva as integral abaixo por frações parciais.