Resolva as integral abaixo por frações parciais.
integral 2(x+2)(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral 2(x+2)(x-1)^2 , dx
Aqui, a gente vai usar frações parciais, que é uma técnica de cálculo integral. Basicamente, vamos quebrar a fração complicada em frações mais simples que a gente já sabe integrar. Vamos precisar entender como decompor frações e encontrar os coeficientes certos para cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Observa que o denominador (x+2)(x-1)^2 tem fatores lineares e quadráticos. Então, vamos supor que:
2(x+2)(x-1)^2 = Ax+2 + Bx-1 + C(x-1)^2
Aqui, A, B e C são constantes que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x+2)(x-1)^2 para eliminar as frações:
2 = A(x-1)^2 + B(x+2)(x-1) + C(x+2)
Expandindo e simplificando:
2 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 + x - 2) + Cx + 2C
Agrupando os termos semelhantes:
2 = (A + B)x^2 + (-2A + B + C)x + (A - 2B + 2C)
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos:
A + B = 0 -2A + B + C = 0 A - 2B + 2C = 2
Resolvendo esse sistema, encontramos:
A = 23, B = -23, C = 23

Passo 4

Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos de volta na decomposição:
2(x+2)(x-1)^2 = 23x+2 + -23x-1 + 23(x-1)^2
Simplificando:
23cdot1x+2 - 23cdot1x-1 + 23cdot1(x-1)^2
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 23cdot1x+2 , dx - integral 23cdot1x-1 , dx + integral 23cdot1(x-1)^2 , dx
Integrando:
23 ln|x+2| - 23 ln|x-1| - 23cdot1x-1 + C

Resposta

A integral é igual a
23 ln|x+2| - 23 ln|x-1| - 23cdot1x-1 + C

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