Aqui, a gente vai usar frações parciais, que é uma técnica de cálculo integral. Basicamente, vamos quebrar a fração complicada em frações mais simples que a gente já sabe integrar. Vamos precisar entender como decompor frações e encontrar os coeficientes certos para cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Observa que o denominador tem fatores lineares e quadráticos. Então, vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Expandindo e simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
A = 23, B = -23, C = 23
Passo 4
Agora que temos os valores de A, B e C, substituímos de volta na decomposição:
2(x+2)(x-1)^2 = 23x+2 + -23x-1 + 23(x-1)^2
Simplificando:
23cdot1x+2 - 23cdot1x-1 + 23cdot1(x-1)^2
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 23cdot1x+2 , dx - integral 23cdot1x-1 , dx + integral 23cdot1(x-1)^2 , dx