Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.2) Área delimitada pela curva e o eixo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as coordenadas do centro de gravidade (ou centroide) da área delimitada pela curva e o eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral para determinar a posição média dessa área.
Passo 2
Vamos começar determinando os pontos onde a curva intercepta o eixo . Isso acontece quando :
Portanto, os limites de integração são de a .
Passo 3
O próximo passo é calcular a área da região. A fórmula para a área sob uma curva em relação ao eixo é dada por:
Neste caso:
Passo 4
Vamos resolver essa integral:
Avaliando de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Assim:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a coordenada do centro de gravidade. Devido à simetria da região em relação ao eixo , sabemos que . Mas vamos confirmar isso calculando:
Observamos que a função é ímpar, ou seja, . A integral de uma função ímpar em intervalos simétricos é zero:
Passo 6
Vamos calcular agora a coordenada . A fórmula para é:
Passo 7
Primeiro, expandimos o quadrado dentro da integral:
Multiplicando por :
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
Calculando as integrais:
Avaliando de a :
Passo 9
Calculando para :
Para :
Portanto:
Resposta
As coordenadas do centro de gravidade da região são .