Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral dupla:
E a região é definida por:
Isso significa que é a área entre dois círculos: um com raio e outro com raio . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral em coordenadas polares, que é super útil para integrar em regiões circulares ou com simetria radial. Vamos precisar saber como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar coordenadas cartesianas para coordenadas polares :
E o elemento de área em coordenadas polares vira:
Isso porque o jacobiano da transformação é .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando em coordenadas polares. A função é:
Em coordenadas polares, , então a função fica:

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original. A integral dupla em coordenadas polares fica:
Simplificando, a função dentro da integral é apenas , o que facilita bastante o cálculo.

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região está entre os círculos de raio e , então varia de a . Além disso, como estamos considerando todo o círculo, varia de a .
Então, os limites são:

Passo 6

Vamos montar a integral com os limites definidos:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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