Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as integral duplaR(1raizx^2+y^2) d x d y ; R=1 <= x^2+y^2 <= 4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral dupla:
integral duplaR(1raizx^2+y^2) , dx , dy
E a região 1 <= x^2 + y^2 <= 4 é definida por:
Isso significa que é a área entre dois círculos: um com raio e outro com raio . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral em coordenadas polares, que é super útil para integrar em regiões circulares ou com simetria radial. Vamos precisar saber como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar coordenadas cartesianas x = r cos theta para coordenadas polares y = r sin theta :
dx , dy = r , dr , dtheta
E o elemento de área em coordenadas polares vira:
Isso porque o jacobiano da transformação é .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando em coordenadas polares. A função é:
1raizx^2+y^2
Em coordenadas polares, 1raizr^2 = 1r , então a função fica:

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original. A integral dupla em coordenadas polares fica:
integral duplaR 1r cdot r , dr , dtheta = integral duplaR 1 , dr , dtheta
Simplificando, a função dentro da integral é apenas , o que facilita bastante o cálculo.

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região 1 <= r <= 2 está entre os círculos de raio 0 <= theta <= 2pi e , então varia de a . Além disso, como estamos considerando todo o círculo, varia de a .
Então, os limites são:

Passo 6

Vamos montar a integral com os limites definidos:
integral0^2pi integral1^2 1 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integral1^2 1 , dr = r |1^2 = 2 - 1 = 1 :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^2pi 1 , dtheta = theta |0^2pi = 2pi - 0 = 2pi :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados