Determinar o conjunto de pontos equidistantes aos planos Omega1: 2 x-y=alpha e Omega2: x-y2=beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o conjunto de pontos que estão à mesma distância de dois planos dados: Omega1: 2x - y = alpha e Omega2: x - y2 = beta. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre pontos e planos. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano e igualar essas distâncias.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a distância de um ponto qualquer (x, y, z) até um plano. A fórmula geral para a distância d de um ponto (x, y, z) até o plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
d = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Nesse caso, nossos planos são Omega1: 2x - y = alpha e Omega2: x - y2 = beta. Vamos reescrever essas equações na forma padrão do plano:
Omega1: 2x - y - alpha = 0
Omega2: x - y2 - beta = 0

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da distância para cada plano. A distância do ponto (x, y, z) até Omega1 é:
d1 = |2x - y - alpha|raiz2^2 + (-1)^2 = |2x - y - alpha|raiz4 + 1 = |2x - y - alpha|raiz5
E a distância até Omega2 é:
d2 = |x - y2 - beta|raiz1^2 + (-12)^2 = |x - y2 - beta|raiz1 + 14 = |x - y2 - beta|raiz54 = |x - y2 - beta|raiz52 = 2|x - y2 - beta|raiz5

Passo 4

Como queremos que as distâncias sejam iguais ( d1 = d2), igualamos as duas expressões:
|2x - y - alpha|raiz5 = 2|x - y2 - beta|raiz5
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por raiz5:
|2x - y - alpha| = 2|x - y2 - beta|

Passo 5

Agora, para eliminar os valores absolutos, vamos considerar os casos onde as expressões dentro deles são positivas ou negativas. Mas, para simplificar, vamos assumir que as expressões são positivas (o resultado final será o mesmo devido à simetria dos valores absolutos):
2x - y - alpha = 2(x - y2 - beta)
Vamos resolver essa equação:
2x - y - alpha = 2x - y - 2beta
Simplificando:
2x - y - alpha = 2x - y - 2beta
Subtraindo 2x - y de ambos os lados:
-alpha = -2beta
Multiplicando ambos os lados por -1:
alpha = 2beta

Resposta

O conjunto de pontos equidistantes aos planos Omega1: 2x - y = alpha e Omega2: x - y2 = beta existe apenas se alpha = 2beta. Nesse caso, todos os pontos que satisfazem essa condição formam um plano que é o conjunto buscado.

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