Determinar o conjunto de pontos equidistantes aos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o conjunto de pontos que estão à mesma distância de dois planos dados:
e
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre pontos e planos. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e um plano e igualar essas distâncias.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a distância de um ponto qualquer
até um plano. A fórmula geral para a distância
de um ponto
até o plano
é:
Nesse caso, nossos planos são
e
. Vamos reescrever essas equações na forma padrão do plano:
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula da distância para cada plano. A distância do ponto
até
é:
E a distância até
é:
Passo 4
Como queremos que as distâncias sejam iguais (
), igualamos as duas expressões:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, para eliminar os valores absolutos, vamos considerar os casos onde as expressões dentro deles são positivas ou negativas. Mas, para simplificar, vamos assumir que as expressões são positivas (o resultado final será o mesmo devido à simetria dos valores absolutos):
Vamos resolver essa equação:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
O conjunto de pontos equidistantes aos planos
e
existe apenas se
. Nesse caso, todos os pontos que satisfazem essa condição formam um plano que é o conjunto buscado.
Exercícios relacionados
Seja
a equação de uma reta que é perpendicular a um plano
. Suponha que o ponto
pertença a
. Seja
uma reta paralela a
, concorrente a
e que também contém
. Determinar um vetor diretor de
que seja unitário.
( 0,4 pontos) calcule o volume do paralelepipedo
cujas arestas adjacentes são representantes dos vetores
e
.
Responda:
© Se conseguimos identificar duas soluções distintas de um sistema linear, o que podemos afirmar a respeito do conjunto solução?
© Se conseguimos identificar duas soluções distintas de um sistema linear, o que podemos afirmar a respeito do conjunto solução?
(1,0 ponto) Calcule as projeções Proj
, Proju
e Proj
.