Seja a equação de uma reta que é perpendicular a um plano . Suponha que o ponto pertença a . Seja uma reta paralela a , concorrente a e que também contém . Determinar um vetor diretor de que seja unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma reta dada pelas equações:
Essa reta é perpendicular a um plano . Sabemos também que o ponto está no plano . Queremos encontrar um vetor diretor da reta que é paralela ao plano , concorre com e passa por . Além disso, esse vetor deve ser unitário, ou seja, ter comprimento 1.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica como vetores diretores, planos, retas paralelas e perpendiculares, além de normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . As equações paramétricas da reta podem ser reescritas isolando uma das variáveis, por exemplo, .
A partir de , temos:
E de :
Podemos parametrizar a reta em função de ou de um parâmetro . Vamos usar :
Assim, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Como a reta é perpendicular ao plano , o vetor diretor de é também o vetor normal ao plano . Ou seja, o vetor normal do plano é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar um vetor diretor da reta que é paralela ao plano . Se uma reta é paralela a um plano, seu vetor diretor é perpendicular ao vetor normal do plano. Portanto, o vetor diretor de deve satisfazer:
Substituindo , temos:

Passo 5

Além disso, a reta é concorrente com , ou seja, elas têm um ponto em comum. Como passa por , esse ponto deve pertencer à reta .
Vamos expressar a reta em forma paramétrica:
Como é concorrente com , existe um valor de que faz para algum .

Passo 6

No entanto, para simplificar, já que é paralela ao plano e passa por , podemos escolher o vetor diretor perpendicular a . Precisamos apenas garantir que satisfaça a condição de perpendicularidade e, então, normalizá-lo.

Passo 7

Vamos escolher componentes para que satisfaçam . Para facilitar, podemos definir , assim:
Vamos assumir , então , e .
Portanto, um vetor diretor possível é .

Passo 8

Agora, precisamos encontrar um vetor unitário na direção de . Para isso, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:

Resposta

Um vetor diretor unitário da reta é .

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Responda:
© Se conseguimos identificar duas soluções distintas de um sistema linear, o que podemos afirmar a respeito do conjunto solução?