Seja r:lx-2 z=1 y-4 z=0 a equação de uma reta que é perpendicular a um plano Omega. Suponha que o ponto P0=(1,-1,0) pertença a Omega. Seja s uma reta paralela a Omega, concorrente a r e que também contém P0. Determinar um vetor diretor de s que seja unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma reta x - 2z = 1 y - 4z = 0 dada pelas equações:
Essa reta é perpendicular a um plano . Sabemos também que o ponto está no plano . Queremos encontrar um vetor diretor da reta que é paralela ao plano , concorre com e passa por . Além disso, esse vetor deve ser unitário, ou seja, ter comprimento 1.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica como vetores diretores, planos, retas paralelas e perpendiculares, além de normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta x = 1 + 2z . As equações paramétricas da reta y = 4z podem ser reescritas isolando uma das variáveis, por exemplo, x = 1 + 2t y = 4t z = t .
A partir de , temos:
E de :
Podemos parametrizar a reta em função de ou de um parâmetro . Vamos usar :
Assim, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Como a reta é perpendicular ao plano , o vetor diretor de é também o vetor normal ao plano . Ou seja, o vetor normal do plano é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar um vetor diretor da reta ds cdot n = 0 que é paralela ao plano 2dsx + 4dsy + dsz = 0 . Se uma reta é paralela a um plano, seu vetor diretor é perpendicular ao vetor normal do plano. Portanto, o vetor diretor de deve satisfazer:
Substituindo , temos:

Passo 5

Além disso, a reta x = 1 + dsx cdot t y = -1 + dsy cdot t z = 0 + dsz cdot t é concorrente com , ou seja, elas têm um ponto em comum. Como passa por , esse ponto deve pertencer à reta .
Vamos expressar a reta em forma paramétrica:
Como é concorrente com , existe um valor de que faz para algum .

Passo 6

No entanto, para simplificar, já que é paralela ao plano e passa por , podemos escolher o vetor diretor perpendicular a . Precisamos apenas garantir que satisfaça a condição de perpendicularidade e, então, normalizá-lo.

Passo 7

Vamos escolher componentes para 2dsx + 4dsy = 0 Rightarrow dsx = -2dsy que satisfaçam . Para facilitar, podemos definir , assim:
Vamos assumir , então , e .
Portanto, um vetor diretor possível é .

Passo 8

Agora, precisamos encontrar um vetor unitário na direção de | ds | = raiz(-2)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz4 + 1 + 0 = raiz5 . Para isso, calculamos o comprimento de ds = ( -2raiz5, 1raiz5, 0 ) :
Então, o vetor unitário é:

Resposta

Um vetor diretor unitário da reta é .

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