(1,0 ponto) Calcule as projeções Proj barvdotu u, Projw u, Proju v, Projbarw v, Projbaru w e Proj v w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular várias projeções entre vetores. O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente a projeção de um vetor sobre outro. Para resolver, vamos precisar lembrar da fórmula da projeção de um vetor a sobre um vetor b, que é:
Projb a = ( a cdot bb cdot b ) b
Isso basicamente nos ajuda a encontrar como um vetor se “projeta” na direção de outro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular Proju v. Usando a fórmula da projeção:
Proju v = ( v cdot uu cdot u ) u

Passo 3

Agora, vamos calcular Projw u:
Projw u = ( u cdot ww cdot w ) w

Passo 4

Em seguida, vamos para Projv w:
Projv w = ( w cdot vv cdot v ) v

Passo 5

Agora, vamos calcular Projbarw v. Aqui, barw representa o vetor unitário na direção de w:
barw = w||w||
Então, a projeção fica:
Projbarw v = ( v cdot barwbarw cdot barw ) barw = (v cdot barw) barw

Passo 6

Por último, vamos calcular Projbaru w. Similarmente, baru é o vetor unitário na direção de u:
baru = u||u||
Então, a projeção é:
Projbaru w = (w cdot baru) baru

Resposta

As projeções são:
Proju v = ( v cdot uu cdot u ) u
Projw u = ( u cdot ww cdot w ) w
Projv w = ( w cdot vv cdot v ) v
Projbarw v = (v cdot barw) barw
Projbaru w = (w cdot baru) baru

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