Determinar a consistência ou inconsistência do sistema em função do parâmetro
.
. Rpta: Se
, o sistema tem infinitas soluções. Se
, o sistema é incompatível. Se
e
, o sistema tem solução única.
Passo 1
Vamos entender o problema: temos um sistema de duas equações lineares com um parâmetro
. Precisamos descobrir para quais valores de
o sistema tem soluções (é consistente) ou não tem (é inconsistente). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema e calcular o seu determinante. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 3
O sistema dado é:
A matriz dos coeficientes desse sistema é:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante da matriz
. Para uma matriz 2x2, o determinante é dado por:
Passo 5
Vamos simplificar o determinante:
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos analisar quando o determinante é zero, pois isso nos indica possíveis casos de infinitas soluções ou inconsistência.
Passo 7
-
Quando
e : O determinante é diferente de zero, o que significa que o sistema tem uma solução única. -
Quando
: Substituindo no sistema:
As duas equações são iguais, então existem infinitas soluções.
- Quando
: Substituindo no sistema:
Resolvendo esse sistema, percebemos que não há valores de
e
que satisfaçam ambas as equações simultaneamente, tornando o sistema inconsistente.
Resposta
Se
, o sistema tem infinitas soluções. Se
, o sistema é incompatível. Para todos os demais valores de
, o sistema possui solução única.