Determinar a consistência ou inconsistência do sistema em função do parâmetro lambda in R. l(1+lambda) x1+x2=1 x1+(1+lambda) x2=1. Rpta: Se lambda=0, o sistema tem infinitas soluções. Se lambda=-2, o sistema é incompatível. Se lambda neq 0 e lambda neq-2, o sistema tem solução única.

Passo 1

Vamos entender o problema: temos um sistema de duas equações lineares com um parâmetro lambda. Precisamos descobrir para quais valores de lambda o sistema tem soluções (é consistente) ou não tem (é inconsistente). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema e calcular o seu determinante. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 3

O sistema dado é:
(1 + lambda)x1 + x2 = 1 x1 + (1 + lambda)x2 = 1
A matriz dos coeficientes desse sistema é:
A = 1 + lambda & 1 1 & 1 + lambda

Passo 4

Agora, calculamos o determinante da matriz A. Para uma matriz 2x2, o determinante é dado por:
det(A) = (1 + lambda)(1 + lambda) - (1)(1) = (1 + lambda)^2 - 1

Passo 5

Vamos simplificar o determinante:
(1 + lambda)^2 - 1 = 1 + 2lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 + 2lambda
Portanto,
det(A) = lambda(lambda + 2)

Passo 6

Agora, vamos analisar quando o determinante é zero, pois isso nos indica possíveis casos de infinitas soluções ou inconsistência.
lambda(lambda + 2) = 0 implies lambda = 0 ou lambda = -2

Passo 7

  • Quando lambda neq 0 e lambda neq -2: O determinante é diferente de zero, o que significa que o sistema tem uma solução única.
  • Quando lambda = 0: Substituindo no sistema:
x1 + x2 = 1 x1 + x2 = 1
As duas equações são iguais, então existem infinitas soluções.
  • Quando lambda = -2: Substituindo no sistema:
-1 cdot x1 + x2 = 1 x1 -1 cdot x2 = 1
Resolvendo esse sistema, percebemos que não há valores de x1 e x2 que satisfaçam ambas as equações simultaneamente, tornando o sistema inconsistente.

Resposta

Se lambda =0, o sistema tem infinitas soluções. Se lambda =-2, o sistema é incompatível. Para todos os demais valores de lambda, o sistema possui solução única.

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