Determinar os valores do parâmetro a para os quais o sistema tem soluções não triviais e encontre-se estas soluções.
c a^2 x1+3 x2+2 x3=0 a x1-x2+x3=0 8 x1+x2+4 x3=0
Rpta.: a=2, S=t(1,0,-2) ; a=-4, S=t(5,-24,-4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com parâmetro a. A gente precisa encontrar os valores de a que fazem com que esse sistema tenha soluções não triviais, ou seja, soluções diferentes de zero. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e sistemas lineares. Vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
A = a^2 & 3 & 2 a & -1 & 1 8 & 1 & 4
Para que o sistema tenha soluções não triviais, o determinante dessa matriz deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = a^2 cdot (-1 cdot 4 - 1 cdot 1) - 3 cdot (a cdot 4 - 8 cdot 1) + 2 cdot (a cdot 1 - (-1) cdot 8)
Simplificando cada parte:
det(A) = a^2 cdot (-4 - 1) - 3 cdot (4a - 8) + 2 cdot (a + 8)
det(A) = a^2 cdot (-5) - 3 cdot 4a + 3 cdot 8 + 2a + 16
det(A) = -5a^2 - 12a + 24 + 2a + 16
det(A) = -5a^2 - 10a + 40

Passo 4

Para encontrar os valores de a que fazem det(A) = 0, resolvemos a equação quadrática:
-5a^2 - 10a + 40 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -5:
a^2 + 2a - 8 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática a^2 + 2a - 8 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a=1, b=2, e c=-8.
Calculando o discriminante:
De
Então,
a = -2 pm raiz362 = -2 pm 62
Portanto, as soluções são:
a = -2 + 62 = 2 e a = -2 - 62 = -4

Passo 6

Agora que temos os valores de a, vamos encontrar as soluções não triviais para cada caso.
Para a = 2:
Substituímos a = 2 no sistema:
4x1 + 3x2 + 2x3 = 0 2x1 - x2 + x3 = 0 8x1 + x2 + 4x3 = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos que as soluções são múltiplos do vetor (1, 0, -2). Ou seja,
S = t cdot (1, 0, -2), t in R
Para a = -4:
Substituímos a = -4 no sistema:
16x1 + 3x2 + 2x3 = 0 -4x1 - x2 + x3 = 0 8x1 + x2 + 4x3 = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos que as soluções são múltiplos do vetor (5, -24, -4). Ou seja,
S = t cdot (5, -24, -4), t in R

Resposta

Os valores de a são a = 2, com soluções S = t(1, 0, -2), e a = -4, com soluções S = t(5, -24, -4), onde t é um número real.

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