Sejam T: R^3 R^3 linear, alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), a base canônica de R^3 e
[T]alpha^alpha=(rrr 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3 )
(i) (1,5 pto) Encontre o polinômio característico de T, os autovalores de T e os autovetores correspondentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear [T]alpha^alpha = 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3 representada pela matriz na base canônica:
O objetivo aqui é encontrar o polinômio característico de , os autovalores e os autovetores correspondentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico. Ele é obtido calculando o determinante de [T] - lambda I = 2 - lambda & 0 & 1 0 & -3 - lambda & 1 0 & 0 & -3 - lambda , onde é um escalar (autovalor) e é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det([T] - lambda I) = (2 - lambda) cdot det -3 - lambda & 1 0 & -3 - lambda - 0 + 1 cdot det 0 & -3 - lambda 0 & 0
Simplificando:
det([T] - lambda I) = (2 - lambda) cdot [(-3 - lambda)(-3 - lambda) - 0] = (2 - lambda)(-3 - lambda)^2
Portanto, o polinômio característico é:
p(lambda) = (2 - lambda)(-3 - lambda)^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo (2 - lambda)(-3 - lambda)^2 = 0 :
lambda1 = 2 e lambda2 = -3 (com mu
Isso nos dá:

Passo 5

Por último, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 0 & 0 & 1 0 & -5 & 1 0 & 0 & -5 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos v1 = 1 0 0 :

[
5 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
v2 = 0 1 0


]
Da primeira equação: .
Da segunda equação: .
Portanto, é livre. O autovetor pode ser escrito como:
Para :
Resolvemos :

[


]
Da segunda equação: .
Da primeira equação: .
é livre. O autovetor pode ser escrito como:

Resposta

O polinômio característico de 1 0 0 é 0 1 0 . Os autovalores são e . Um autovetor associado a é e um autovetor associado a é .

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