Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. O enunciado pede para encontrar as coordenadas do centro e discutir a natureza da quádricas dada pela equação:
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre quádricas, especialmente como identificar o tipo de quádricas (como esferas, elipsoides, paraboloides, etc.) e encontrar o centro da quádricas completando o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
,
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Para facilitar, vamos separar cada parte.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Temos
. Primeiro, colocamos o 2 em evidência:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro dos parênteses:
Passo 4
Completando o quadrado para
:
Temos
. Primeiro, colocamos o -3 em evidência:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Pegamos o coeficiente de
, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 1:
Passo 5
Completando o quadrado para
:
Temos
. Primeiro, colocamos o 4 em evidência:
Completamos o quadrado pegando o coeficiente de
, que é 3, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos
:
Passo 6
Agora, juntamos tudo na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Então:
Isolando os termos quadráticos:
Passo 7
Para facilitar a identificação da quádricas, vamos dividir toda a equação por 24:
Simplificando as frações:
Passo 8
Agora, analisando a equação padrão das quádricas:
Podemos ver que temos sinais diferentes para os termos quadráticos. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas.
Passo 9
Coordenadas do centro:
Observando a forma completada da equação, o centro
da quádricas é:
Resposta
O centro da quádricas é
e a quádricas representa um hiperboloide de duas folhas.