Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas:
(a) .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. O enunciado pede para encontrar as coordenadas do centro e discutir a natureza da quádricas dada pela equação:
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre quádricas, especialmente como identificar o tipo de quádricas (como esferas, elipsoides, paraboloides, etc.) e encontrar o centro da quádricas completando o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de , e :
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Para facilitar, vamos separar cada parte.

Passo 3

Completando o quadrado para :
Temos . Primeiro, colocamos o 2 em evidência:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Para isso, pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro dos parênteses:

Passo 4

Completando o quadrado para :
Temos . Primeiro, colocamos o -3 em evidência:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Pegamos o coeficiente de , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 1:

Passo 5

Completando o quadrado para :
Temos . Primeiro, colocamos o 4 em evidência:
Completamos o quadrado pegando o coeficiente de , que é 3, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos :

Passo 6

Agora, juntamos tudo na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Então:
Isolando os termos quadráticos:

Passo 7

Para facilitar a identificação da quádricas, vamos dividir toda a equação por 24:
Simplificando as frações:

Passo 8

Agora, analisando a equação padrão das quádricas:
Podemos ver que temos sinais diferentes para os termos quadráticos. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas.

Passo 9

Coordenadas do centro:
Observando a forma completada da equação, o centro da quádricas é:

Resposta

O centro da quádricas é e a quádricas representa um hiperboloide de duas folhas.

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Seja um intervalo de e indiquemos por o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados e , definem-se e .f do seguinte modo:
, para todo
e , para todo
O conjunto é um espaço vetorial com relação a esse par de operações. Mostre que U e são subespaços de e sendo um intervalo com centro em 0 , mostre que , onde:
Determine as extremidades do diâmetro da superfície esférica que é perpendicular ao plano .
Dê uma parametrização para a superfície cilindrica .
Provar que a equação: representa uma superfície cilíndrica , calculando os parâmetros diretores da geratriz e a equação da diretriz mais simples. Em seguida, dê uma terna de equações paramétricas .