Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas:
(a) 2 x^2-3 y^2+4 z^2-8 x-6 y+12 z-10=0.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. O enunciado pede para encontrar as coordenadas do centro e discutir a natureza da quádricas dada pela equação:
2x^2 - 3y^2 + 4z^2 - 8x - 6y + 12z - 10 = 0
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre quádricas, especialmente como identificar o tipo de quádricas (como esferas, elipsoides, paraboloides, etc.) e encontrar o centro da quádricas completando o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 2x^2 - 8x - 3y^2 - 6y + 4z^2 + 12z = 10 , e :
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Para facilitar, vamos separar cada parte.

Passo 3

Completando o quadrado para 2(x^2 - 4x) :
Temos (-42)^2 = 4 . Primeiro, colocamos o 2 em evidência:
2(x^2 - 4x + 4 - 4) = 2((x - 2)^2 - 4) = 2(x - 2)^2 - 8
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Para isso, pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro dos parênteses:

Passo 4

Completando o quadrado para -3(y^2 + 2y) :
Temos (22)^2 = 1 . Primeiro, colocamos o -3 em evidência:
-3(y^2 + 2y + 1 - 1) = -3((y + 1)^2 - 1) = -3(y + 1)^2 + 3
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Pegamos o coeficiente de , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 1:

Passo 5

Completando o quadrado para 4(z^2 + 3z) :
Temos (32)^2 = 94 . Primeiro, colocamos o 4 em evidência:
4(z^2 + 3z + 94 - 94) = 4((z + 32)^2 - 94) = 4(z + 32)^2 - 9
Completamos o quadrado pegando o coeficiente de , que é 3, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos :

Passo 6

Agora, juntamos tudo na equação original:
2(x - 2)^2 - 8 - 3(y + 1)^2 + 3 + 4(z + 32)^2 - 9 = 10
Simplificando os termos constantes:
-8 + 3 - 9 = -14
Então:
2(x - 2)^2 - 3(y + 1)^2 + 4(z + 32)^2 - 14 = 10
Isolando os termos quadráticos:
2(x - 2)^2 - 3(y + 1)^2 + 4(z + 32)^2 = 24

Passo 7

Para facilitar a identificação da quádricas, vamos dividir toda a equação por 24:
2(x - 2)^224 - 3(y + 1)^224 + 4(z + 32)^224 = 1
Simplificando as frações:
(x - 2)^212 - (y + 1)^28 + (z + 32)^26 = 1

Passo 8

Agora, analisando a equação padrão das quádricas:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 + (z - l)^2c^2 = 1
Podemos ver que temos sinais diferentes para os termos quadráticos. Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas.

Passo 9

Coordenadas do centro:
Observando a forma completada da equação, o centro (2, -1, -32) da quádricas é:

Resposta

O centro da quádricas é e a quádricas representa um hiperboloide de duas folhas.

Exercícios relacionados