Seja um intervalo de e indiquemos por o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados e , definem-se e .f do seguinte modo:
, para todo
e , para todo
O conjunto é um espaço vetorial com relação a esse par de operações. Mostre que U e são subespaços de e sendo um intervalo com centro em 0 , mostre que , onde:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo! A gente tem um intervalo na reta real e está lidando com o conjunto , que é formado por todas as funções contínuas definidas nesse intervalo. A questão quer que a gente mostre que dois subconjuntos, e , são subespaços de e que, se tem o centro em 0, então é a soma direta desses subespaços, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que são subespaços e o que significa soma direta de subespaços. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo clarinho!

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é um subespaço de .
O que é um subespaço?
Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada um desses pontos para .
  1. Contém o vetor zero:
    A função zero para todo está em porque:
  2. Fechado sob adição:
    Se , então:
    E também:
    Então, .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar:
    Se e , então:
    E:
    Portanto, .
Como os três pontos estão satisfeitos, é de fato um subespaço de .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que também é um subespaço de .
Vamos verificar os mesmos três pontos para .
  1. Contém o vetor zero:
    A função zero está em porque:
  2. Fechado sob adição:
    Se , então:
    E:
    Também:
    Assim, .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar:
    Se e , então:
    E:
    Portanto, .
Como todos os três critérios são atendidos, também é um subespaço de .

Passo 4

Agora que sabemos que e são subespaços, vamos mostrar que quando tem o centro em 0. Isso significa que toda função pode ser escrita de forma única como a soma de uma função em e uma em .
Como fazemos isso?
Vamos decompor qualquer função em partes par e ímpar:
  1. Parte par:
    Note que:
  2. Parte ímpar:
    í
    E:
    ííí
Então, podemos escrever:
í
Isso mostra que toda função em é a soma de uma função em e uma em .
Além disso, essa decomposição é única. Se com e , então e são exatamente as partes par e ímpar de .
Portanto, é a soma direta de e , ou seja, .

Resposta

Assim, mostramos que e são subespaços de e que, se o intervalo tem centro em 0, então é a soma direta desses subespaços. A resposta final é que .

Exercícios relacionados

Determine as extremidades do diâmetro da superfície esférica que é perpendicular ao plano .
Determinar as coordenadas do centro e raio da esfera .
Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas:
(a) .
Dê uma parametrização para a superfície cilindrica .