Seja I um intervalo de R e indiquemos por C(I) o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados f, g in C(I) e alpha in R, definem-se f+g e alpha.f do seguinte modo:
(f+g): I R e(f+g)(t)=f(t)+g(t), para todo t in I
alpha f: I R e (alpha f)(t)=alpha f(t), para todo t in I
O conjunto C(I) é um espaço vetorial com relação a esse par de operações. Mostre que U e V são subespaços de C(I) e sendo I um intervalo com centro em 0 , mostre que C(I)=U oplus V, onde:
& U=f in C(I) mid f(t)=f(-t), forall t in I & V=f in C(I) mid-f(t)=f(-t), forall t in I

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo! A gente tem um intervalo na reta real e está lidando com o conjunto , que é formado por todas as funções contínuas definidas nesse intervalo. A questão quer que a gente mostre que dois subconjuntos, e , são subespaços de e que, se tem o centro em 0, então é a soma direta desses subespaços, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que são subespaços e o que significa soma direta de subespaços. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo clarinho!

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que f(t) = f(-t) para todo t in I é um subespaço de (f + g)(t) = f(t) + g(t) .
O que é um subespaço?
Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada um desses pontos para (f + g)(-t) = f(-t) + g(-t) = f(t) + g(t) = (f + g)(t) .
  1. Contém o vetor zero:
    A função zero (alpha f)(t) = alpha f(t) para todo (alpha f)(-t) = alpha f(-t) = alpha f(t) = (alpha f)(t) está em porque:
  2. Fechado sob adição:
    Se , então:
    E também:
    Então, .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar:
    Se e , então:
    E:
    Portanto, .
Como os três pontos estão satisfeitos, é de fato um subespaço de .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que -f(t) = -0 = 0 = f(-t) também é um subespaço de (f + g)(t) = f(t) + g(t) .
Vamos verificar os mesmos três pontos para -(f + g)(t) = -f(t) - g(t) .
  1. Contém o vetor zero:
    A função zero (f + g)(-t) = f(-t) + g(-t) = -f(t) - g(t) = -(f(t) + g(t)) está em (alpha f)(t) = alpha f(t) porque:
    -(alpha f)(t) = -alpha f(t) = alpha (-f(t)) = alpha f(-t) = (alpha f)(-t)
  2. Fechado sob adição:
    Se , então:
    E:
    Também:
    Assim, .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar:
    Se e , então:
    E:
    Portanto, .
Como todos os três critérios são atendidos, também é um subespaço de .

Passo 4

Agora que sabemos que fpar(t) = f(t) + f(-t)2 e fpar(t) = fpar(-t) Rightarrow fpar in U são subespaços, vamos mostrar que fímpar(t) = f(t) - f(-t)2 quando -fímpar(t) = -f(t) + f(-t)2 = fímpar(-t) Rightarrow fímpar in V tem o centro em 0. Isso significa que toda função f(t) = fpar(t) + fímpar(t) pode ser escrita de forma única como a soma de uma função em e uma em .
Como fazemos isso?
Vamos decompor qualquer função em partes par e ímpar:
  1. Parte par:
    Note que:
  2. Parte ímpar:
    í
    E:
    ííí
Então, podemos escrever:
í
Isso mostra que toda função em é a soma de uma função em e uma em .
Além disso, essa decomposição é única. Se com e , então e são exatamente as partes par e ímpar de .
Portanto, é a soma direta de e , ou seja, .

Resposta

Assim, mostramos que e são subespaços de e que, se o intervalo tem centro em 0, então é a soma direta desses subespaços. A resposta final é que .

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