Seja
um intervalo de
e indiquemos por
o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados
e
, definem-se
e
.f do seguinte modo:
, para todo
e
, para todo
O conjunto
é um espaço vetorial com relação a esse par de operações. Mostre que U e
são subespaços de
e sendo
um intervalo com centro em 0 , mostre que
, onde:
O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo! A gente tem um intervalo
na reta real
e está lidando com o conjunto
, que é formado por todas as funções contínuas definidas nesse intervalo. A questão quer que a gente mostre que dois subconjuntos,
e
, são subespaços de
e que, se
tem o centro em 0, então
é a soma direta desses subespaços, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que são subespaços e o que significa soma direta de subespaços. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo clarinho!
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é um subespaço de
.
O que é um subespaço?
Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que:
Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada um desses pontos para
.
-
Contém o vetor zero:
A função zeropara todo está em porque: -
Fechado sob adição:
Se, então: E também:Então,. -
Fechado sob multiplicação por escalar:
See , então: E:Portanto,.
Como os três pontos estão satisfeitos,
é de fato um subespaço de
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
também é um subespaço de
.
Vamos verificar os mesmos três pontos para
.
-
Contém o vetor zero:
A função zeroestá em porque: -
Fechado sob adição:
Se, então: E:Também:Assim,. -
Fechado sob multiplicação por escalar:
See , então: E:Portanto,.
Como todos os três critérios são atendidos,
também é um subespaço de
.
Passo 4
Agora que sabemos que
e
são subespaços, vamos mostrar que
quando
tem o centro em 0. Isso significa que toda função
pode ser escrita de forma única como a soma de uma função em
e uma em
.
Como fazemos isso?
Vamos decompor qualquer função
em partes par e ímpar:
-
Parte par:Note que:
-
Parte ímpar:E:
Então, podemos escrever:
Isso mostra que toda função em
é a soma de uma função em
e uma em
.
Além disso, essa decomposição é única. Se
com
e
, então
e
são exatamente as partes par e ímpar de
.
Portanto,
é a soma direta de
e
, ou seja,
.
Resposta
Assim, mostramos que
e
são subespaços de
e que, se o intervalo
tem centro em 0, então
é a soma direta desses subespaços. A resposta final é que
.
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que é perpendicular ao plano
.
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.
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(a) .
(a)
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.