Determine as extremidades do diâmetro da superfície esférica S: x^2+y^2+z^2+2 x-2 y=0 que é perpendicular ao plano x-y-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as extremidades de um diâmetro de uma esfera que é perpendicular a um certo plano. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de esferas e planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como identificar o centro e o raio da esfera, além de como determinar a perpendicularidade entre o diâmetro e o plano dado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da esfera na forma padrão. A equação que temos é:
x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y = 0
Para colocar na forma padrão, completamos os quadrados para (x^2 + 2x) + (y^2 - 2y) + z^2 = 0 e (x + 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + z^2 = 0 :
(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 2
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
Agora, a forma padrão da esfera é:
Comparando, temos que o centro da esfera é e o raio .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um diâmetro da esfera que seja perpendicular ao plano . Para isso, lembro que o diâmetro terá a mesma direção que a normal do plano. A normal de um plano é o vetor . Então, a normal do plano dado é .

Passo 4

Sabendo que o diâmetro está na direção da normal, vamos determinar os pontos extremos desse diâmetro. O centro da esfera é e o diâmetro tem comprimento . O vetor direcional é , mas precisamos de um vetor unitário para encontrar os pontos nas extremidades. O comprimento do vetor é . Então, o vetor unitário é .

Passo 5

Multiplicamos o vetor unitário pelo raio para encontrar a distância que devemos ir do centro em cada direção:
raiz2 times (1raiz2, -1raiz2, 0) = (1, -1, 0)
Então, os pontos extremos do diâmetro são:
(-1, 1, 0) + (1, -1, 0) = (0, 0, 0)
(-1, 1, 0) - (1, -1, 0) = (-2, 2, 0)

Resposta

As extremidades do diâmetro são os pontos e .

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