Determine as extremidades do diâmetro da superfície esférica
que é perpendicular ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as extremidades de um diâmetro de uma esfera que é perpendicular a um certo plano. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de esferas e planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como identificar o centro e o raio da esfera, além de como determinar a perpendicularidade entre o diâmetro e o plano dado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da esfera na forma padrão. A equação que temos é:
Para colocar na forma padrão, completamos os quadrados para
e
:
Agora, a forma padrão da esfera é:
Comparando, temos que o centro da esfera é
e o raio
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um diâmetro da esfera que seja perpendicular ao plano
. Para isso, lembro que o diâmetro terá a mesma direção que a normal do plano. A normal de um plano
é o vetor
. Então, a normal do plano dado é
.
Passo 4
Sabendo que o diâmetro está na direção da normal, vamos determinar os pontos extremos desse diâmetro. O centro da esfera é
e o diâmetro tem comprimento
. O vetor direcional é
, mas precisamos de um vetor unitário para encontrar os pontos nas extremidades. O comprimento do vetor
é
. Então, o vetor unitário é
.
Passo 5
Multiplicamos o vetor unitário pelo raio para encontrar a distância que devemos ir do centro em cada direção:
Então, os pontos extremos do diâmetro são:
Resposta
As extremidades do diâmetro são os pontos
e
.