Dê uma parametrização para a superfície cilindrica .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação que descreve uma superfície cilíndrica: . Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa superfície. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre parametrização de superfícies e manipulação de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação da superfície para facilitar a parametrização. Observando a equação , a gente percebe que há termos mistos como e , o que complica um pouco. Para simplificar, vamos completar o quadrado em relação a e .

Passo 3

Vamos reorganizar os termos que envolvem e :
Agora, completamos o quadrado para os termos de :
E para os termos de :
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos a equação simplificada:
Essa equação nos lembra a forma padrão da equação de um cilindro circular, que é , onde é o raio. Comparando, vemos que o cilindro está centrado em no plano e tem raio .

Passo 5

Para parametrizar a superfície, vamos usar um parâmetro angular para representar a circunferência do cilindro e um parâmetro linear para representar a direção ao longo do cilindro (no caso, o eixo ).
Vamos definir:

Passo 6

Resolvendo para e :

Resposta

A parametrização da superfície cilíndrica é dada por:
onde e .

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Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas:
(a) .
Seja um intervalo de e indiquemos por o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados e , definem-se e .f do seguinte modo:
, para todo
e , para todo
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