Dê uma parametrização para a superfície cilindrica .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação que descreve uma superfície cilíndrica: . Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa superfície. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre parametrização de superfícies e manipulação de equações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação da superfície para facilitar a parametrização. Observando a equação , a gente percebe que há termos mistos como e , o que complica um pouco. Para simplificar, vamos completar o quadrado em relação a e .
Passo 3
Vamos reorganizar os termos que envolvem e :
Agora, completamos o quadrado para os termos de :
E para os termos de :
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos a equação simplificada:
Essa equação nos lembra a forma padrão da equação de um cilindro circular, que é , onde é o raio. Comparando, vemos que o cilindro está centrado em no plano e tem raio .
Passo 5
Para parametrizar a superfície, vamos usar um parâmetro angular para representar a circunferência do cilindro e um parâmetro linear para representar a direção ao longo do cilindro (no caso, o eixo ).
Vamos definir:
Passo 6
Resolvendo para e :
Resposta
A parametrização da superfície cilíndrica é dada por: