Dê uma parametrização para a superfície cilindrica C: x^2+y^2+2 z^2-2 x z+2 y z-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação que descreve uma superfície cilíndrica: . Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para essa superfície. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre parametrização de superfícies e manipulação de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação da superfície para facilitar a parametrização. Observando a equação , a gente percebe que há termos mistos como e , o que complica um pouco. Para simplificar, vamos completar o quadrado em relação a e .

Passo 3

Vamos reorganizar os termos que envolvem x^2 - 2xz + y^2 + 2yz + 2z^2 - 2 = 0 e x^2 - 2xz = (x - z)^2 - z^2 :
y^2 + 2yz = (y + z)^2 - z^2
Agora, completamos o quadrado para os termos de (x - z)^2 - z^2 + (y + z)^2 - z^2 + 2z^2 - 2 = 0 :
(x - z)^2 + (y + z)^2 - 2 = 0
E para os termos de :
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos a equação simplificada:
(x - z)^2 + (y + z)^2 = 2
Essa equação nos lembra a forma padrão da equação de um cilindro circular, que é , onde é o raio. Comparando, vemos que o cilindro está centrado em no plano e tem raio .

Passo 5

Para parametrizar a superfície, vamos usar um parâmetro angular x - z = raiz2 cos(theta) para representar a circunferência do cilindro e um parâmetro linear y + z = raiz2 sin(theta) para representar a direção ao longo do cilindro (no caso, o eixo z = t ).
Vamos definir:

Passo 6

Resolvendo para x = raiz2 cos(theta) + t e y = raiz2 sin(theta) - t :
z = t

Resposta

A parametrização da superfície cilíndrica x = raiz2 cos(theta) + t y = raiz2 sin(theta) - t z = t é dada por:
onde e .

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