Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar as coordenadas cartesianas do ponto para coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos usar as fórmulas da matéria de geometria espacial. Primeiro, vamos entender o que são essas coordenadas e quais fórmulas vamos precisar aplicar.
Passo 2
Vamos começar convertendo para **coordenadas cilíndricas**. Nas coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto é descrita por três valores: , e .
- ** ** é a distância do ponto à origem no plano .
- ** ** é o ângulo em relação ao eixo positivo.
- ** ** é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
Para calcular , usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Para calcular , usamos a função tangente inversa:
A coordenada permanece a mesma:
Então, a coordenada cilíndrica é aproximadamente .
Passo 3
Agora, vamos converter para **coordenadas esféricas**. Nas esféricas, descrevemos o ponto por três valores: , e .
- ** ** é a distância do ponto até a origem.
- ** ** é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
- ** ** é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas.
Para calcular , usamos:
Para calcular , usamos:
O já calculamos antes:
Então, a coordenada esférica é aproximadamente .
Resposta
As coordenadas cilíndricas do ponto são e as coordenadas esféricas são .
Exercícios relacionados
Escreva o polinômio como combinação linear dos polinômios: e .
Expressar a equação em coordenadas esféricas.
Encontre a matriz associada a cada uma das seguintes formas quadráticas
-
-