Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar as coordenadas cartesianas do ponto
para coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos usar as fórmulas da matéria de geometria espacial. Primeiro, vamos entender o que são essas coordenadas e quais fórmulas vamos precisar aplicar.
Passo 2
Vamos começar convertendo para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto é descrita por três valores:
,
e
.
-
é a distância do ponto à origem no plano . -
é o ângulo em relação ao eixo positivo. -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
Para calcular
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Para calcular
, usamos a função tangente inversa:
A coordenada
permanece a mesma:
Então, a coordenada cilíndrica é aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. Nas esféricas, descrevemos o ponto por três valores:
,
e
.
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo . -
é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas.
Para calcular
, usamos:
Para calcular
, usamos:
O
já calculamos antes:
Então, a coordenada esférica é aproximadamente
.
Resposta
As coordenadas cilíndricas do ponto são
e as coordenadas esféricas são
.