Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar as coordenadas cartesianas do ponto para coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos usar as fórmulas da matéria de geometria espacial. Primeiro, vamos entender o que são essas coordenadas e quais fórmulas vamos precisar aplicar.

Passo 2

Vamos começar convertendo para **coordenadas cilíndricas**. Nas coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto é descrita por três valores: , e . - **** é a distância do ponto à origem no plano . - **** é o ângulo em relação ao eixo positivo. - **** é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas. Para calcular , usamos a fórmula: Substituindo os valores: Para calcular , usamos a função tangente inversa: A coordenada permanece a mesma: Então, a coordenada cilíndrica é aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos converter para **coordenadas esféricas**. Nas esféricas, descrevemos o ponto por três valores: , e . - **** é a distância do ponto até a origem. - **** é o ângulo entre o vetor posição e o eixo . - **** é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas. Para calcular , usamos: Para calcular , usamos: O já calculamos antes: Então, a coordenada esférica é aproximadamente .

Resposta

As coordenadas cilíndricas do ponto são e as coordenadas esféricas são .

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