Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são:
(6,3,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar as coordenadas cartesianas do ponto (6, 3, 2) para coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos usar as fórmulas da matéria de geometria espacial. Primeiro, vamos entender o que são essas coordenadas e quais fórmulas vamos precisar aplicar.

Passo 2

Vamos começar convertendo para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto é descrita por três valores: r, theta e z.
  • r é a distância do ponto à origem no plano xy.
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x positivo.
  • z é a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
Para calcular r, usamos a fórmula:
r = raizx^2 + y^2
Substituindo os valores:
r = raiz6^2 + 3^2 = raiz36 + 9 = raiz45 approx 6,708
Para calcular theta, usamos a função tangente inversa:
theta = arctan(yx) = arctan(36) = arctan(0,5) approx 26,565^circ
A coordenada z permanece a mesma:
z = 2
Então, a coordenada cilíndrica é aproximadamente (6,708, 26,565^circ, 2).

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. Nas esféricas, descrevemos o ponto por três valores: rho, phi e theta.
  • rho é a distância do ponto até a origem.
  • phi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
  • theta é o mesmo ângulo theta das coordenadas cilíndricas.
Para calcular rho, usamos:
rho = raizx^2 + y^2 + z^2 = raiz6^2 + 3^2 + 2^2 = raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7
Para calcular phi, usamos:
phi = arccos(zrho) = arccos(27) approx 73,398^circ
O theta já calculamos antes:
theta approx 26,565^circ
Então, a coordenada esférica é aproximadamente (7, 73,398^circ, 26,565^circ).

Resposta

As coordenadas cilíndricas do ponto são (6,708, 26,565^circ, 2) e as coordenadas esféricas são (7, 73,398^circ, 26,565^circ).

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