Expressar a equação rho+6 sen psi cos theta+sen psi sen theta-8 cos psi=0 em coordenadas retangulares.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A equação dada está em coordenadas esféricas, que usam os parâmetros rho, theta e psi. Nosso objetivo é reescrever essa equação usando as coordenadas retangulares, ou cartesianas, que são representadas por x, y e z. Para isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam as coordenadas esféricas com as retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas esféricas para retangulares. As fórmulas são:
Essas fórmulas nos permitem substituir x = rho cdot sen psi cdot cos theta y = rho cdot sen psi cdot sen theta z = rho cdot cos psi , rho e theta por psi, x e y.

Passo 3

Agora, vamos observar a equação original:
Nosso objetivo é expressar tudo em termos de rho + 6 sen psi cos theta + sen psi sen theta - 8 cos psi = 0 , x e y. Para isso, vamos usar as relações que temos.

Passo 4

Primeiro, isolamos rho na equação:
Agora, vamos substituir rho = -6 sen psi cos theta - sen psi sen theta + 8 cos psi , , e rho usando as fórmulas de conversão.

Passo 5

Sabemos que:
Substituindo esses valores na equação de sen psi cos theta = xrho, sen psi sen theta = yrho, cos psi = zrho , temos:
rho

Passo 6

Para eliminar os denominadores, multiplicamos todos os termos por rho:
rho^2 = -6x - y + 8z
Sabendo que rho^2 = x^2 + y^2 + z^2 (pois rho é a distância do ponto à origem), substituímos na equação:
x^2 + y^2 + z^2 = -6x - y + 8z

Passo 7

Agora, vamos arrumar a equação para deixá-la em coordenadas retangulares:
x^2 + 6x + y^2 + y + z^2 - 8z = 0
Essa é a expressão da equação original em coordenadas cartesianas.

Resposta

A equação em coordenadas retangulares é:
x^2 + 6x + y^2 + y + z^2 - 8z = 0

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