Expressar a equação
em coordenadas retangulares.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A equação dada está em coordenadas esféricas, que usam os parâmetros
,
e
. Nosso objetivo é reescrever essa equação usando as coordenadas retangulares, ou cartesianas, que são representadas por
,
e
. Para isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam as coordenadas esféricas com as retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas esféricas para retangulares. As fórmulas são:
Essas fórmulas nos permitem substituir
,
e
por
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos observar a equação original:
Nosso objetivo é expressar tudo em termos de
,
e
. Para isso, vamos usar as relações que temos.
Passo 4
Primeiro, isolamos
na equação:
Agora, vamos substituir
, , e
usando as fórmulas de conversão.
Passo 5
Sabemos que:
Substituindo esses valores na equação de
, temos:
Passo 6
Para eliminar os denominadores, multiplicamos todos os termos por
:
Sabendo que
(pois
é a distância do ponto à origem), substituímos na equação:
Passo 7
Agora, vamos arrumar a equação para deixá-la em coordenadas retangulares:
Essa é a expressão da equação original em coordenadas cartesianas.
Resposta
A equação em coordenadas retangulares é:
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Escreva o polinômio
como combinação linear dos polinômios:
e
.
Mostre que os vetores
e
geram o
.
Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são:
.
Expressar a equação
em coordenadas esféricas.