Escreva o polinômio p(t)=3 t^2-7 t2 como combinação linear dos polinômios: p1(t)= t^2-2 t+5, p2(t)=2 t^2-3 t e p3(t)=t+3.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos escrever o polinômio p(t) = a cdot p1(t) + b cdot p2(t) + c cdot p3(t) como uma combinação linear dos polinômios , e . Isso significa encontrar coeficientes , e tais que:
Para resolver isso, vamos precisar igualar os coeficientes dos termos correspondentes e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a combinação linear:
a(t^2 - 2t + 5) + b(2t^2 - 3t) + c(t + 3) = 3t^2 - 7t
Distribuindo os coeficientes:
a t^2 - 2a t + 5a + 2b t^2 - 3b t + c t + 3c = 3t^2 - 7t

Passo 3

Agora, vamos reunir os termos semelhantes:
  • Termo de 5a + 3c = 0 :
  • Termo de :
  • Termo constante:
Como não há termo constante no polinômio , podemos igualar a 0:

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações com base nos coeficientes:
a + 2b = 3 -2a - 3b + c = -7 5a + 3c = 0
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Da primeira equação, podemos expressar a = 3 - 2b em função de :

Passo 6

Substituindo -2(3 - 2b) - 3b + c = -7 na segunda equação:
-6 + 4b - 3b + c = -7
b + c = -1
c = -1 - b

Passo 7

Agora, substituindo 5(3 - 2b) + 3(-1 - b) = 0 e 15 - 10b - 3 - 3b = 0 na terceira equação:
12 - 13b = 0
-13b = -12
b = 1213

Passo 8

Com a = 3 - 2 cdot 1213 = 3913 - 2413 = 1513 , encontramos c = -1 - 1213 = -2513 :
E para :

Resposta

Portanto, o polinômio p(t) = 1513 cdot p1(t) + 1213 cdot p2(t) - 2513 cdot p3(t) pode ser escrito como combinação linear dos polinômios dados da seguinte forma:

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