Escreva o polinômio como combinação linear dos polinômios: e .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos escrever o polinômio como uma combinação linear dos polinômios , e . Isso significa encontrar coeficientes , e tais que:
Para resolver isso, vamos precisar igualar os coeficientes dos termos correspondentes e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a combinação linear:
Distribuindo os coeficientes:
Passo 3
Agora, vamos reunir os termos semelhantes:
Termo de :
Termo de :
Termo constante:
Como não há termo constante no polinômio , podemos igualar a 0:
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações com base nos coeficientes:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Da primeira equação, podemos expressar a = 3 - 2b em função de :
Passo 6
Substituindo -2(3 - 2b) - 3b + c = -7 na segunda equação:
-6 + 4b - 3b + c = -7
b + c = -1
c = -1 - b
Passo 7
Agora, substituindo 5(3 - 2b) + 3(-1 - b) = 0 e 15 - 10b - 3 - 3b = 0 na terceira equação:
12 - 13b = 0
-13b = -12
b = 1213
Passo 8
Com a = 3 - 2 cdot 1213 = 3913 - 2413 = 1513 , encontramos c = -1 - 1213 = -2513 :
E para :
Resposta
Portanto, o polinômio p(t) = 1513 cdot p1(t) + 1213 cdot p2(t) - 2513 cdot p3(t) pode ser escrito como combinação linear dos polinômios dados da seguinte forma: