Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são:
(0,1,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente converter as coordenadas cartesianas do ponto para coordenadas cilíndricas e esféricas. A gente vai precisar lembrar das fórmulas de conversão entre essas coordenadas. Vamos dar um passo de cada vez para entender direitinho como fazer essa transformação!

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são representadas por r = raizx^2 + y^2 , onde:
  • r = raiz0^2 + 1^2 = raiz0 + 1 = raiz1 = 1 é a distância do ponto até o eixo theta = arctan(yx) ,
  • z = 1 é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
Para encontrar , usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Agora, para encontrar , usamos a tangente inversa:
No nosso caso, e . Quando e , radianos (ou 90 graus).
E, finalmente, a coordenada permanece a mesma:
Então, as coordenadas cilíndricas são .

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são representadas por rho = raizx^2 + y^2 + z^2 , onde:
  • rho = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 é a distância do ponto até a origem,
  • phi = arccos(zrho) é o ângulo entre o vetor posição e o eixo phi = arccos(1raiz2) = pi4 ,
  • é o mesmo ângulo do sistema cilíndrico, em relação ao eixo .
Primeiro, vamos encontrar usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Para encontrar , usamos:
Substituindo:
radianos (ou 45 graus).
E já sabemos que é radianos.
Então, as coordenadas esféricas são .

Resposta

As coordenadas cilíndricas do ponto são e as coordenadas esféricas são .

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