Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente converter as coordenadas cartesianas do ponto
para coordenadas cilíndricas e esféricas. A gente vai precisar lembrar das fórmulas de conversão entre essas coordenadas. Vamos dar um passo de cada vez para entender direitinho como fazer essa transformação!
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são representadas por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Agora, para encontrar
, usamos a tangente inversa:
No nosso caso,
e
. Quando
e
,
radianos (ou 90 graus).
E, finalmente, a coordenada
permanece a mesma:
Então, as coordenadas cilíndricas são
.
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são representadas por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem, -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo , -
é o mesmo ângulo do sistema cilíndrico, em relação ao eixo .
Primeiro, vamos encontrar
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Para encontrar
, usamos:
Substituindo:
E
já sabemos que é
radianos.
Então, as coordenadas esféricas são
.
Resposta
As coordenadas cilíndricas do ponto são
e as coordenadas esféricas são
.