Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente converter as coordenadas cartesianas do ponto para coordenadas cilíndricas e esféricas. A gente vai precisar lembrar das fórmulas de conversão entre essas coordenadas. Vamos dar um passo de cada vez para entender direitinho como fazer essa transformação!

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são representadas por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
Para encontrar , usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Agora, para encontrar , usamos a tangente inversa:
No nosso caso, e . Quando e , radianos (ou 90 graus).
E, finalmente, a coordenada permanece a mesma:
Então, as coordenadas cilíndricas são .

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são representadas por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem,
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo ,
  • é o mesmo ângulo do sistema cilíndrico, em relação ao eixo .
Primeiro, vamos encontrar usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Para encontrar , usamos:
Substituindo:
radianos (ou 45 graus).
E já sabemos que é radianos.
Então, as coordenadas esféricas são .

Resposta

As coordenadas cilíndricas do ponto são e as coordenadas esféricas são .

Exercícios relacionados

(ENADE 2008)Considere o sistema de equações a seguir.
Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações lineares. O sistema não tem solução

porque

o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
A) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
E) Ambas as asserções são proposições falsas.
(2,0) Verifique se os vetores e são LI ou LD.
Expressar a equação em coordenadas cilíndricas.
(ENADE 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos,os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada (o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de ). Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de de água. Denote por o custo total estimado da obra, em bilhões de reais,e por o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares , em que:
Com base nessas informações, assinale a opção correta.
A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que .
B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
C) Mais de da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.