Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente converter as coordenadas cartesianas do ponto para coordenadas cilíndricas e esféricas. A gente vai precisar lembrar das fórmulas de conversão entre essas coordenadas. Vamos dar um passo de cada vez para entender direitinho como fazer essa transformação!
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são representadas por , onde:
é a distância do ponto até o eixo ,
é o ângulo em relação ao eixo ,
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
Para encontrar , usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Agora, para encontrar , usamos a tangente inversa:
No nosso caso, e . Quando e , radianos (ou 90 graus).
E, finalmente, a coordenada permanece a mesma:
Então, as coordenadas cilíndricas são .
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são representadas por , onde:
é a distância do ponto até a origem,
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo ,
é o mesmo ângulo do sistema cilíndrico, em relação ao eixo .
Primeiro, vamos encontrar usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Para encontrar , usamos:
Substituindo:
radianos (ou 45 graus).
E já sabemos que é radianos.
Então, as coordenadas esféricas são .
Resposta
As coordenadas cilíndricas do ponto são e as coordenadas esféricas são .