Expressar a equação x^2+y^2+2 z^2-2 x-3 y-z+2=0 em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente transformar a equação x = r cos theta, y = r sin theta, z = z das coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. Isso faz parte do conteúdo de geometria analítica, onde usamos diferentes sistemas de coordenadas para representar equações no espaço. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas cartesianas para cilíndricas , usando as relações:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 + 2 z^2 - 2 (r cos theta) - 3 (r sin theta) - z + 2 = 0 e pelas expressões em coordenadas cilíndricas na equação original. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar os termos quadráticos. Sabemos que r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) + 2 z^2 - 2 r cos theta - 3 r sin theta - z + 2 = 0 , então:
r^2 + 2 z^2 - 2 r cos theta - 3 r sin theta - z + 2 = 0
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para agrupar os termos semelhantes:
r^2 - 2 r cos theta - 3 r sin theta + 2 z^2 - z + 2 = 0

Passo 5

Essa é a equação em coordenadas cilíndricas. Podemos deixá-la assim ou fatorar alguns termos para simplificar, mas, no formato solicitado, essa é a expressão final.

Resposta

A equação em coordenadas cilíndricas fica:
r^2 - 2 r cos theta - 3 r sin theta + 2 z^2 - z + 2 = 0

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