Seja
a forma bilinear de
definida por
. Determinar a matriz de
em relação a cada uma das seguintes bases:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a matriz de uma forma bilinear
definida em
para duas bases diferentes. Basicamente, estamos trabalhando com formas bilineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a forma bilinear em termos de matrizes e como essa representação muda quando mudamos a base do espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear
é uma função que é linear em cada argumento separadamente. No nosso caso, a forma bilinear é dada por:
Queremos representar essa forma bilinear como uma matriz em relação a diferentes bases.
Passo 3
Vamos começar pela primeira base, que é a base canônica
. Nessa base, os vetores são simplesmente os eixos
e
. A matriz da forma bilinear em relação a essa base é dada pelos coeficientes que aparecem na expressão da forma bilinear.
Observando a expressão
, vemos que os coeficientes são 1 nas posições correspondentes aos produtos
e
. Assim, a matriz fica:
Isso porque não há termos cruzados (
ou
) na expressão da forma bilinear.
Passo 4
Agora, vamos determinar a matriz da forma bilinear em relação à segunda base, que é
. Para isso, precisamos usar a mudança de base.
Primeiro, identificamos a matriz de mudança de base
da base
para a base canônica. Essa matriz
tem como colunas os vetores da nova base expressos na base canônica:
A matriz da forma bilinear na nova base,
, é dada por:
onde
é a transposta de
.
Calculando:
Multiplicando as matrizes:
Resposta
A matriz da forma bilinear
nas bases dadas é:
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Verifique que o conjunto
dos polinômios de grau menor ou igual a 3 é um espaço vetorial.
Determinar as coordenadas retangulares (cartesianas) dos pontos cujas coordenadas cilíndricas são:
;
Determinar as coordenadas retangulares (cartesianas) dos pontos cujas coordenadas cilíndricas são:
.
Encontre a equação do plano
que passa pelos pontos
e
.