Seja a forma bilinear de definida por . Determinar a matriz de em relação a cada uma das seguintes bases: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a matriz de uma forma bilinear definida em para duas bases diferentes. Basicamente, estamos trabalhando com formas bilineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a forma bilinear em termos de matrizes e como essa representação muda quando mudamos a base do espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear é uma função que é linear em cada argumento separadamente. No nosso caso, a forma bilinear é dada por:
Queremos representar essa forma bilinear como uma matriz em relação a diferentes bases.

Passo 3

Vamos começar pela primeira base, que é a base canônica . Nessa base, os vetores são simplesmente os eixos e . A matriz da forma bilinear em relação a essa base é dada pelos coeficientes que aparecem na expressão da forma bilinear.
Observando a expressão , vemos que os coeficientes são 1 nas posições correspondentes aos produtos e . Assim, a matriz fica:
ô
Isso porque não há termos cruzados ( ou ) na expressão da forma bilinear.

Passo 4

Agora, vamos determinar a matriz da forma bilinear em relação à segunda base, que é . Para isso, precisamos usar a mudança de base.
Primeiro, identificamos a matriz de mudança de base da base para a base canônica. Essa matriz tem como colunas os vetores da nova base expressos na base canônica:
A matriz da forma bilinear na nova base, , é dada por:
ô
onde é a transposta de .
Calculando:
Multiplicando as matrizes:

Resposta

A matriz da forma bilinear nas bases dadas é:

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Determinar as coordenadas retangulares (cartesianas) dos pontos cujas coordenadas cilíndricas são:
;
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.
Encontre a equação do plano que passa pelos pontos e .