Seja f a forma bilinear de R^2 definida por f((x1, y1),(x2, y2))=x1 y1+x2 y2. Determinar a matriz de f em relação a cada uma das seguintes bases: (1,0),(0,1),(1,2),(3,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a matriz de uma forma bilinear definida em para duas bases diferentes. Basicamente, estamos trabalhando com formas bilineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a forma bilinear em termos de matrizes e como essa representação muda quando mudamos a base do espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear f((x1, y1), (x2, y2)) = x1 y1 + x2 y2 é uma função que é linear em cada argumento separadamente. No nosso caso, a forma bilinear é dada por:
Queremos representar essa forma bilinear como uma matriz em relação a diferentes bases.

Passo 3

Vamos começar pela primeira base, que é a base canônica Mcanônica = 1 & 0 0 & 1 . Nessa base, os vetores são simplesmente os eixos e . A matriz da forma bilinear em relação a essa base é dada pelos coeficientes que aparecem na expressão da forma bilinear.
Observando a expressão , vemos que os coeficientes são 1 nas posições correspondentes aos produtos e . Assim, a matriz fica:
ô
Isso porque não há termos cruzados ( ou ) na expressão da forma bilinear.

Passo 4

Agora, vamos determinar a matriz da forma bilinear em relação à segunda base, que é P = 1 & 3 2 & 4 . Para isso, precisamos usar a mudança de base.
Primeiro, identificamos a matriz de mudança de base M' = P^T Mcanônica P da base P^T = 1 & 2 3 & 4 para a base canônica. Essa matriz M' = 1 & 2 3 & 4 1 & 0 0 & 1 1 & 3 2 & 4 = 1 & 2 3 & 4 1 & 3 2 & 4 tem como colunas os vetores da nova base expressos na base canônica:
M' = 1 cdot 1 + 2 cdot 2 & 1 cdot 3 + 2 cdot 4 3 cdot 1 + 4 cdot 2 & 3 cdot 3 + 4 cdot 4 = 5 & 11 11 & 25
A matriz da forma bilinear na nova base, , é dada por:
ô
onde é a transposta de .
Calculando:
Multiplicando as matrizes:

Resposta

A matriz da forma bilinear M(1,0),(0,1) = 1 & 0 0 & 1 e M(1,2),(3,4) = 5 & 11 11 & 25 nas bases dadas é:

Exercícios relacionados