Determinar as coordenadas dos vetores e em relação à base ordenada .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas dos vetores , e em relação a uma base , onde:
Aqui, estamos trabalhando com combinações lineares de vetores em uma base para encontrar as coordenadas de outros vetores. Basicamente, queremos expressar cada vetor dado como uma soma das bases , e , cada uma multiplicada por um escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base. Se temos um vetor , queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso se chama representação da base.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor . Queremos encontrar , e que satisfaçam:
Isso dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da terceira equação: ⟹ .
Substituindo na segunda equação: ⟹ .
Substituindo e na primeira equação: ⟹ .
Passo 5
Então, as coordenadas do vetor em relação à base são:
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para o segundo vetor . Na verdade, como ele é igual ao primeiro, as coordenadas serão as mesmas:
Passo 7
Agora, vamos para o terceiro vetor . Queremos encontrar , e que satisfaçam: