Determinar as coordenadas dos vetores e em relação à base ordenada .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas dos vetores , e em relação a uma base , onde:
Aqui, estamos trabalhando com combinações lineares de vetores em uma base para encontrar as coordenadas de outros vetores. Basicamente, queremos expressar cada vetor dado como uma soma das bases , e , cada uma multiplicada por um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base. Se temos um vetor , queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso se chama representação da base.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor . Queremos encontrar , e que satisfaçam:
Isso dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da terceira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação: .

Passo 5

Então, as coordenadas do vetor em relação à base são:

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para o segundo vetor . Na verdade, como ele é igual ao primeiro, as coordenadas serão as mesmas:

Passo 7

Agora, vamos para o terceiro vetor . Queremos encontrar , e que satisfaçam:
O sistema de equações fica:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação: .

Resposta

As coordenadas dos vetores em relação à base são:

Exercícios relacionados

1
Representar o vetor em relação a cada uma das bases e do plano.
Sejam e . Mostre que e são subespaços de .
Quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaço de ? Justifique.
(g)
Sejam e vetores de . Determine os valores de para os quais pode ser escrito como combinação linear de e .