Determinar as coordenadas dos vetores (1,1,0),(1,1,0) e (1,0,0) em relação à base ordenada beta=v1, v2, v3=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas dos vetores v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,0,0) , e em relação a uma base , onde:
Aqui, estamos trabalhando com combinações lineares de vetores em uma base para encontrar as coordenadas de outros vetores. Basicamente, queremos expressar cada vetor dado como uma soma das bases , e , cada uma multiplicada por um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base. Se temos um vetor u = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 , queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso se chama representação da base.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor (1,1,0) = c1 (1,1,1) + c2 (1,1,0) + c3 (1,0,0) . Queremos encontrar 1 = c1 + c2 + c3 1 = c1 + c2 + 0 cdot c3 0 = c1 + 0 cdot c2 + 0 cdot c3 , e que satisfaçam:
Isso dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da terceira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação: .

Passo 5

Então, as coordenadas do vetor (0, 1, 0) em relação à base são:

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para o segundo vetor (0, 1, 0) . Na verdade, como ele é igual ao primeiro, as coordenadas serão as mesmas:

Passo 7

Agora, vamos para o terceiro vetor (1,0,0) = c1 (1,1,1) + c2 (1,1,0) + c3 (1,0,0) . Queremos encontrar 1 = c1 + c2 + c3 0 = c1 + c2 + 0 cdot c3 0 = c1 + 0 cdot c2 + 0 cdot c3 , e que satisfaçam:
O sistema de equações fica:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na primeira equação: .

Resposta

As coordenadas dos vetores em relação à base (1,1,0) (0, 1, 0) são:
(1,1,0) (0, 1, 0)
(1,0,0) (0, 0, 1)

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