Sejam U=(x, y, z) in R^3 / x=z e V=(x, y, z) in R^3 / x=y=0. Mostre que U e V são subespaços de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está falando. Temos dois conjuntos de vetores no espaço tridimensional R^3. O conjunto U é formado por todos os vetores onde a primeira coordenada x é igual à terceira coordenada z. Já o conjunto V é formado por todos os vetores onde as coordenadas x e y são iguais a zero. Nosso objetivo é mostrar que tanto U quanto V são subespaços de R^3.
Para isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço se:
  1. O vetor zero está no conjunto.
  2. O conjunto é fechado sob adição de vetores.
  3. O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar essas condições para U e V.

Passo 2

Verificando para o conjunto U
  1. Vetor zero: O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Aqui, x = 0 e z = 0, então x = z. Portanto, (0, 0, 0) in U.
  2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores quaisquer em U, digamos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2), onde x1 = z1 e x2 = z2. A soma desses vetores é (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Como x1 + x2 = z1 + z2, a soma também satisfaz x = z. Portanto, a soma está em U.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Pegue um vetor qualquer em U, (x, y, z), onde x = z, e um escalar c. Multiplicando o vetor por c, temos (c x, c y, c z). Como c x = c z, a condição x = z ainda vale. Logo, c (x, y, z) in U.
Como todas as três condições são atendidas, U é um subespaço de R^3.

Passo 3

Verificando para o conjunto V
  1. Vetor zero: Novamente, o vetor zero é (0, 0, 0). Aqui, x = 0 e y = 0, então x = y = 0. Portanto, (0, 0, 0) in V.
  2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores em V, digamos (0, 0, z1) e (0, 0, z2). A soma deles é (0 + 0, 0 + 0, z1 + z2) = (0, 0, z1 + z2). Claramente, x = y = 0 ainda se mantém, então a soma está em V.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Pegue um vetor em V, (0, 0, z), e um escalar c. Multiplicando por c, temos (0, 0, c z). Como x e y continuam sendo zero, c (0, 0, z) in V.
Assim, todas as condições são satisfeitas, e V é um subespaço de R^3.

Resposta

Concluímos que tanto U quanto V são subespaços de R^3, pois satisfazem todas as condições necessárias de um subespaço vetorial.

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