Sejam
e
. Mostre que
e
são subespaços de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está falando. Temos dois conjuntos de vetores no espaço tridimensional
. O conjunto
é formado por todos os vetores onde a primeira coordenada
é igual à terceira coordenada
. Já o conjunto
é formado por todos os vetores onde as coordenadas
e
são iguais a zero. Nosso objetivo é mostrar que tanto
quanto
são subespaços de
.
Para isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço se:
- O vetor zero está no conjunto.
- O conjunto é fechado sob adição de vetores.
- O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar essas condições para
e
.
Passo 2
Verificando para o conjunto
-
Vetor zero: O vetor zero em
é . Aqui, e , então . Portanto, . -
Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos e , onde e . A soma desses vetores é . Como , a soma também satisfaz . Portanto, a soma está em . -
Fechado sob multiplicação por escalar: Pegue um vetor qualquer em
, , onde , e um escalar . Multiplicando o vetor por , temos . Como , a condição ainda vale. Logo, .
Como todas as três condições são atendidas,
é um subespaço de
.
Passo 3
Verificando para o conjunto
-
Vetor zero: Novamente, o vetor zero é
. Aqui, e , então . Portanto, . -
Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores em
, digamos e . A soma deles é . Claramente, ainda se mantém, então a soma está em . -
Fechado sob multiplicação por escalar: Pegue um vetor em
, , e um escalar . Multiplicando por , temos . Como e continuam sendo zero, .
Assim, todas as condições são satisfeitas, e
é um subespaço de
.
Resposta
Concluímos que tanto
quanto
são subespaços de
, pois satisfazem todas as condições necessárias de um subespaço vetorial.
Exercícios relacionados
Obter uma base para
que contenha os vetores:
Dê a equação da parábola de vértice
e reta diretriz
.
1
Representar o vetor em relação a cada uma das bases
e
do plano.
Representar o vetor
Determinar as coordenadas dos vetores
e
em relação à base ordenada
.