Sejam e . Mostre que e são subespaços de .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está falando. Temos dois conjuntos de vetores no espaço tridimensional . O conjunto é formado por todos os vetores onde a primeira coordenada é igual à terceira coordenada . Já o conjunto é formado por todos os vetores onde as coordenadas e são iguais a zero. Nosso objetivo é mostrar que tanto quanto são subespaços de .
Para isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço se:
  1. O vetor zero está no conjunto.
  2. O conjunto é fechado sob adição de vetores.
  3. O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar essas condições para e .

Passo 2

Verificando para o conjunto
  1. Vetor zero: O vetor zero em é . Aqui, e , então . Portanto, .
  2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos e , onde e . A soma desses vetores é . Como , a soma também satisfaz . Portanto, a soma está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Pegue um vetor qualquer em , , onde , e um escalar . Multiplicando o vetor por , temos . Como , a condição ainda vale. Logo, .
Como todas as três condições são atendidas, é um subespaço de .

Passo 3

Verificando para o conjunto
  1. Vetor zero: Novamente, o vetor zero é . Aqui, e , então . Portanto, .
  2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores em , digamos e . A soma deles é . Claramente, ainda se mantém, então a soma está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Pegue um vetor em , , e um escalar . Multiplicando por , temos . Como e continuam sendo zero, .
Assim, todas as condições são satisfeitas, e é um subespaço de .

Resposta

Concluímos que tanto quanto são subespaços de , pois satisfazem todas as condições necessárias de um subespaço vetorial.

Exercícios relacionados

Obter uma base para que contenha os vetores:
Dê a equação da parábola de vértice e reta diretriz .
1
Representar o vetor em relação a cada uma das bases e do plano.
Determinar as coordenadas dos vetores e em relação à base ordenada .