Quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaço de ? Justifique.
(g)

Passo 1

Então, a gente precisa descobrir se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço vetorial: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado para adição de vetores e para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Se colocarmos na definição de , temos , então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado para a adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também está em . Seja e onde . A soma . Isso é da forma onde , que está em . Então, é fechado para a adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado para multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um escalar , o resultado ainda está em . Seja e . Então, , que também é da forma onde , estando em . Assim, é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar, é um subespaço de .

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1
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Sejam , e vetores de .
(a) Mostre que o conjunto é uma base de .