Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
(g)
(g)
Passo 1
Então, a gente precisa descobrir se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço vetorial: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado para adição de vetores e para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Se colocarmos
na definição de
, temos
, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado para a adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também está em
. Seja
e
onde
. A soma
. Isso é da forma
onde
, que está em
. Então,
é fechado para a adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado para multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um escalar
, o resultado ainda está em
. Seja
e
. Então,
, que também é da forma
onde
, estando em
. Assim,
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar,
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Determinar as coordenadas dos vetores
e
em relação à base ordenada
.
1
Representar o vetor em relação a cada uma das bases
e
do plano.
Representar o vetor
Sejam
e
vetores de
. Determine os valores de
para os quais
pode ser escrito como combinação linear de
e
.
Sejam
,
e
vetores de
.
(a) Mostre que o conjunto é uma base de
.
(a) Mostre que o conjunto