Sejam e vetores de . Determine os valores de para os quais pode ser escrito como combinação linear de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir os valores de para os quais o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Isso está dentro do conteúdo de combinação linear e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que represente essa combinação linear.

Passo 2

Primeiro, uma combinação linear dos vetores e significa que existem escalares e tais que:
Isso dá:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares e :
Isso resulta em um sistema de três equações:

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar valores de e que satisfaçam as duas primeiras equações. Dessa forma, poderemos determinar . Vamos resolver o sistema formado pelas duas primeiras equações:

Passo 5

Vamos resolver a equação (1) para :
Agora, substituímos na equação (2):

Passo 6

Distribuindo o 3:
Combinando os termos de :

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Agora que temos , substituímos de volta na equação para :

Passo 9

Com os valores de e encontrados, podemos determinar usando a terceira equação:

Resposta

O valor de para o qual pode ser escrito como combinação linear de e é .

Exercícios relacionados

Quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaço de ? Justifique.
(g)
Determinar as coordenadas dos vetores e em relação à base ordenada .
Sejam , e vetores de .
(a) Mostre que o conjunto é uma base de .
Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do :
;