Sejam u=(1,3,5) e v=(2,4,-3) vetores de R^3. Determine os valores de k para os quais (2,7, k) pode ser escrito como combinação linear de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir os valores de para os quais o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Isso está dentro do conteúdo de combinação linear e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que represente essa combinação linear.

Passo 2

Primeiro, uma combinação linear dos vetores a cdot u + b cdot v = (2, 7, k) e a(1, 3, 5) + b(2, 4, -3) = (2, 7, k) significa que existem escalares e tais que:
Isso dá:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares (a cdot 1 + b cdot 2, a cdot 3 + b cdot 4, a cdot 5 + b cdot (-3)) = (2, 7, k) e a + 2b = 2 3a + 4b = 7 5a - 3b = k :
Isso resulta em um sistema de três equações:

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar valores de a + 2b = 2 (1) 3a + 4b = 7 (2) e que satisfaçam as duas primeiras equações. Dessa forma, poderemos determinar . Vamos resolver o sistema formado pelas duas primeiras equações:

Passo 5

Vamos resolver a equação (1) para a = 2 - 2b :
3(2 - 2b) + 4b = 7
Agora, substituímos na equação (2):

Passo 6

Distribuindo o 3:
6 - 6b + 4b = 7
Combinando os termos de 6 - 2b = 7 :

Passo 7

Isolando -2b = 7 - 6 -2b = 1 b = -12 :

Passo 8

Agora que temos a = 2 - 2(-12) a = 2 + 1 a = 3 , substituímos de volta na equação para :

Passo 9

Com os valores de k = 5a - 3b k = 5(3) - 3(-12) k = 15 + 32 k = 302 + 32 k = 332 k = 16,5 e encontrados, podemos determinar usando a terceira equação:

Resposta

O valor de para o qual pode ser escrito como combinação linear de e é .

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