Sejam e vetores de . Determine os valores de para os quais pode ser escrito como combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir os valores de para os quais o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Isso está dentro do conteúdo de combinação linear e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que represente essa combinação linear.
Passo 2
Primeiro, uma combinação linear dos vetores e significa que existem escalares e tais que:
Isso dá:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os escalares e :
Isso resulta em um sistema de três equações:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar valores de a + 2b = 2 (1) 3a + 4b = 7 (2) e que satisfaçam as duas primeiras equações. Dessa forma, poderemos determinar . Vamos resolver o sistema formado pelas duas primeiras equações:
Passo 5
Vamos resolver a equação (1) para a = 2 - 2b :
3(2 - 2b) + 4b = 7
Agora, substituímos na equação (2):
Passo 6
Distribuindo o 3:
6 - 6b + 4b = 7
Combinando os termos de 6 - 2b = 7 :
Passo 7
Isolando -2b = 7 - 6 -2b = 1 b = -12 :
Passo 8
Agora que temos a = 2 - 2(-12) a = 2 + 1 a = 3 , substituímos de volta na equação para :
Passo 9
Com os valores de k = 5a - 3b k = 5(3) - 3(-12) k = 15 + 32 k = 302 + 32 k = 332 k = 16,5 e encontrados, podemos determinar usando a terceira equação:
Resposta
O valor de para o qual pode ser escrito como combinação linear de e é .