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Representar o vetor
em relação a cada uma das bases
e
do plano.
Representar o vetor
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para representarmos o vetor
em duas bases diferentes do plano: a base padrão
e a base alterada
. Esse tipo de problema está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de mudanças de base e representações de vetores em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação linear dos vetores que formam cada base.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o vetor
na base padrão
. A base padrão é a mais simples, onde cada vetor é representado diretamente pelas suas coordenadas.
Então, nesse caso:
Ou seja, na base padrão, as coordenadas do vetor
são simplesmente
.
Passo 3
Agora, vamos para a base
. Aqui, queremos encontrar os coeficientes
e
tais que:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores para resolvermos as equações:
Da primeira equação, já sabemos que
. Substituindo esse valor na segunda equação:
Resposta
Portanto, o vetor
representado na base padrão
é
e na base
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Mostre que
e
são subespaços de
.
Obter uma base para
que contenha os vetores:
Determinar as coordenadas dos vetores
e
em relação à base ordenada
.
Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
(g)
(g)