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Representar o vetor em relação a cada uma das bases e do plano.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para representarmos o vetor em duas bases diferentes do plano: a base padrão e a base alterada . Esse tipo de problema está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de mudanças de base e representações de vetores em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação linear dos vetores que formam cada base.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor na base padrão . A base padrão é a mais simples, onde cada vetor é representado diretamente pelas suas coordenadas.
Então, nesse caso:
Ou seja, na base padrão, as coordenadas do vetor são simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos para a base . Aqui, queremos encontrar os coeficientes e tais que:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores para resolvermos as equações:
Da primeira equação, já sabemos que . Substituindo esse valor na segunda equação:

Resposta

Portanto, o vetor representado na base padrão é e na base é .

Exercícios relacionados

Sejam e . Mostre que e são subespaços de .
Obter uma base para que contenha os vetores:
Determinar as coordenadas dos vetores e em relação à base ordenada .
Quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaço de ? Justifique.
(g)