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Representar o vetor u=(5,2) em relação a cada uma das bases beta=(1,0),(0,1) e beta^prime=(1,1),(0,1) do plano.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para representarmos o vetor u = (5, 2) em duas bases diferentes do plano: a base padrão beta = (1, 0), (0, 1) e a base alterada beta' = (1, 1), (0, 1). Esse tipo de problema está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de mudanças de base e representações de vetores em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação linear dos vetores que formam cada base.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor u na base padrão beta = (1, 0), (0, 1). A base padrão é a mais simples, onde cada vetor é representado diretamente pelas suas coordenadas.
Então, nesse caso:
u = 5 cdot (1, 0) + 2 cdot (0, 1) = (5, 2)
Ou seja, na base padrão, as coordenadas do vetor u são simplesmente (5, 2).

Passo 3

Agora, vamos para a base beta' = (1, 1), (0, 1). Aqui, queremos encontrar os coeficientes a e b tais que:
u = a cdot (1, 1) + b cdot (0, 1)
Isso significa que:
(5, 2) = (a cdot 1 + b cdot 0, , a cdot 1 + b cdot 1) = (a, , a + b)

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores para resolvermos as equações:
a = 5 a + b = 2
Da primeira equação, já sabemos que a = 5. Substituindo esse valor na segunda equação:
5 + b = 2 b = 2 - 5 b = -3

Resposta

Portanto, o vetor u = (5, 2) representado na base padrão beta é (5, 2) e na base beta' = (1, 1), (0, 1) é (5, -3).

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