Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados:
Passo 1
No enunciado do exercício, precisamos determinar a curvatura da curva definida pela função vetorial
no ponto
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especialmente o cálculo da curvatura de uma curva no espaço tridimensional. Precisaremos calcular as derivadas primeira e segunda da função vetorial, realizar o produto vetorial entre elas e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
que corresponde ao ponto
. Isso significa que devemos resolver:
Resolvendo a primeira equação, temos
. Verificando nas demais:
Portanto,
é o valor que corresponde ao ponto dado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada primeira da função vetorial
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada segunda da função vetorial:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da curvatura para uma curva no espaço:
Aqui,
representa o produto vetorial e
é o módulo do vetor.
Passo 6
Calculamos o produto vetorial
:
Passo 7
Calculamos o módulo do produto vetorial:
Passo 8
Calculamos o módulo da derivada primeira:
Elevando ao cubo:
Resposta
Substituindo na fórmula da curvatura:
Portanto, a curvatura da curva no ponto
é
.
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.
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(b)
(b)
Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Resolva os problemas de valor inicial:
(g)
(g)