Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados:

Passo 1

No enunciado do exercício, precisamos determinar a curvatura da curva definida pela função vetorial no ponto . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especialmente o cálculo da curvatura de uma curva no espaço tridimensional. Precisaremos calcular as derivadas primeira e segunda da função vetorial, realizar o produto vetorial entre elas e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Isso significa que devemos resolver:
Resolvendo a primeira equação, temos . Verificando nas demais:
Portanto, é o valor que corresponde ao ponto dado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada primeira da função vetorial :

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada segunda da função vetorial:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da curvatura para uma curva no espaço:
Aqui, representa o produto vetorial e é o módulo do vetor.

Passo 6

Calculamos o produto vetorial :

Passo 7

Calculamos o módulo do produto vetorial:

Passo 8

Calculamos o módulo da derivada primeira:
Elevando ao cubo:

Resposta

Substituindo na fórmula da curvatura:
Portanto, a curvatura da curva no ponto é .

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(b)
Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
Resolva os problemas de valor inicial:
(g)