Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo-a, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método de variação dos parâmetros. Assumimos que:
Onde e são as soluções da equação homogênea.

Passo 4

Primeiro, calculamos as derivadas de :
No método de variação dos parâmetros, impomos as condições:

Passo 5

Para resolver o sistema, calculamos o Wronskiano das funções e :
Agora, usando as fórmulas de variação dos parâmetros:

Passo 6

Integrando e para encontrar e :
Desconsideramos as constantes de integração porque já estão incluídas na solução homogênea.

Passo 7

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:

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(e)
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