Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de variação dos parâmetros. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo-a, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
usando o método de variação dos parâmetros. Assumimos que:
Onde
e
são as soluções da equação homogênea.
Passo 4
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
No método de variação dos parâmetros, impomos as condições:
Passo 5
Para resolver o sistema, calculamos o Wronskiano das funções
e
:
Agora, usando as fórmulas de variação dos parâmetros:
Passo 6
Integrando
e
para encontrar
e
:
Desconsideramos as constantes de integração porque já estão incluídas na solução homogênea.
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é:
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(e)
(e)
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.
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