Resolva os problemas de valor inicial:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é:
Aqui, a
representa a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e que também atende às condições iniciais
e
.
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (
). - Encontrar uma solução particular da equação completa (
). - Somar essas soluções para obter a solução geral da equação completa.
- Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, usamos o método de encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo
por
,
por
e
por 1:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar as raízes
:
Então, as raízes são:
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito da equação é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar substituindo
na equação original.
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Aqui percebemos que nosso palpite para
precisa ser ajustado porque a parte constante não está atendendo o termo
do lado direito. Portanto, vamos tentar uma forma mais completa para
:
Isso geralmente ajuda a capturar termos adicionais que possam surgir. Ao seguir esse processo, eventualmente encontramos os valores de
,
,
e
que satisfazem a equação.
Após realizar os cálculos (que podem ser extensos), chegamos a:
Passo 4
Agora que temos a solução homogênea
e a solução particular
, a solução geral da equação completa é a soma delas:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Primeiro, usamos a condição inicial
:
Então, temos:
Agora, calculamos a derivada de
:
Aplicamos a condição inicial
:
Portanto:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações para
e
:
Podemos resolver esse sistema. Da Equação 1, temos:
Substituindo na Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados:
Resolva as equações de Euler para
:
©
©
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(e)
(e)