Resolva os problemas de valor inicial:
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é:
Aqui, a representa a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e que também atende às condições iniciais e .
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada ( ).
  2. Encontrar uma solução particular da equação completa ( ).
  3. Somar essas soluções para obter a solução geral da equação completa.
  4. Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, usamos o método de encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é obtida substituindo por , por e por 1:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar as raízes :
Então, as raízes são:
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito da equação é , vamos supor uma solução particular da forma:
Aqui, e são constantes que vamos determinar substituindo na equação original.
Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Aqui percebemos que nosso palpite para precisa ser ajustado porque a parte constante não está atendendo o termo do lado direito. Portanto, vamos tentar uma forma mais completa para :
Isso geralmente ajuda a capturar termos adicionais que possam surgir. Ao seguir esse processo, eventualmente encontramos os valores de , , e que satisfazem a equação.
Após realizar os cálculos (que podem ser extensos), chegamos a:

Passo 4

Agora que temos a solução homogênea e a solução particular , a solução geral da equação completa é a soma delas:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .

Passo 5

Primeiro, usamos a condição inicial :
Então, temos:
çã
Agora, calculamos a derivada de :
Aplicamos a condição inicial :
Portanto:
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações para e :
çãçã
Podemos resolver esse sistema. Da Equação 1, temos:
Substituindo na Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial dada é:

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©
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(e)