Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
A matéria aqui envolve equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
, onde
é uma constante que vamos encontrar:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para achar os valores de
.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar essa equação:
Então, as raízes são:
Como são raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, usamos
:
Ou seja:
Passo 5
Também precisamos da derivada de
para aplicar a segunda condição inicial. Vamos derivar a solução geral:
Agora, aplicamos
:
Ou seja:
Passo 6
Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Passo 7
Agora que temos
, vamos substituir na equação (1) para encontrar
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados:
Calcular a curvatura da circunferência de raio 4 centrada em
.
Resolva os problemas de valor inicial:
(g)
(g)
Resolva as equações de Euler para
:
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