Resolva os problemas de valor inicial:
(b) y'' - 3y' + 2y = 0, y(1) = 0, y'(1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
A matéria aqui envolve equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por , onde é uma constante que vamos encontrar:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para achar os valores de .

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar essa equação:
Então, as raízes são:
Como são raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, usamos :
Ou seja:

Passo 5

Também precisamos da derivada de para aplicar a segunda condição inicial. Vamos derivar a solução geral:
Agora, aplicamos :
Ou seja:

Passo 6

Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a equação (1) da equação (2):

Passo 7

Agora que temos , vamos substituir na equação (1) para encontrar :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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