Resolva os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Lineares com Força Externa, e vamos precisar usar o Método dos Coeficientes a Determinados para a parte homogênea e o Teorema de Convolução para lidar com as funções delta de Dirac. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação:
Temos uma equação diferencial linear não homogênea onde o lado direito (força externa) é composto por
e duas funções delta de Dirac em
e
.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais:
Isso nos dá a solução geral da parte homogênea:
Onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea
. Notamos que
já está na solução homogênea, então precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Sabemos que:
Primeiro, calculamos
:
Agora, derivamos
:
Aplicamos
:
Como
:
Então,
.
Passo 7
Substituindo
e
na solução
:
Passo 8
Agora, lidamos com as funções delta de Dirac
e
. Essas funções representam impulsos em
e
, respectivamente. Cada impulso adiciona uma resposta adicional na solução. Utilizamos o Teorema da Resposta ao Impulso, que nos diz que a solução é a soma das soluções individuais causadas por cada impulso.
Passo 9
A resposta a um impulso
na equação diferencial linear é a função de resposta impulsional. Para nossa equação, a resposta impulsional é:
Ent��o, para
:
E para
:
Onde
é a função degrau de Heaviside, garantindo que a resposta ocorra apenas após
.
Passo 10
Finalmente, somamos todas as partes da solução:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é a função degrau de Heaviside ativada em
.