Resolva os seguintes PVIs:
y'' - 7y' + 6y = e^t + delta(t - 2) + delta(t - 4) ; y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Lineares com Força Externa, e vamos precisar usar o Método dos Coeficientes a Determinados para a parte homogênea e o Teorema de Convolução para lidar com as funções delta de Dirac. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação:
Temos uma equação diferencial linear não homogênea onde o lado direito (força externa) é composto por e duas funções delta de Dirac em e .

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais:
Isso nos dá a solução geral da parte homogênea:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea . Notamos que já está na solução homogênea, então precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular:

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Sabemos que:
Primeiro, calculamos :
Agora, derivamos :
Aplicamos :
Como :
Então, .

Passo 7

Substituindo e na solução :

Passo 8

Agora, lidamos com as funções delta de Dirac e . Essas funções representam impulsos em e , respectivamente. Cada impulso adiciona uma resposta adicional na solução. Utilizamos o Teorema da Resposta ao Impulso, que nos diz que a solução é a soma das soluções individuais causadas por cada impulso.

Passo 9

A resposta a um impulso na equação diferencial linear é a função de resposta impulsional. Para nossa equação, a resposta impulsional é:
Ent��o, para :
E para :
Onde é a função degrau de Heaviside, garantindo que a resposta ocorra apenas após .

Passo 10

Finalmente, somamos todas as partes da solução:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é a função degrau de Heaviside ativada em .

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