Uma empresa de componentes eletrônicos fabrica dois produtos: um básico e um mais sofisticado. A produção mensal da empresa é dada pela função:
P(x, y) = x^0.8 * y^0.2
em que x é o número de produtos básicos e y o número de produtos sofisticados feitos mensalmente. Existe um limite para a produção mensal de tais componentes de forma que x^2 + y^2 = 1600.
Determine as quantidades x e y que maximizam a produção dessa empresa e justifique por que os valores de x e y que você encontrou maximizam a produção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma empresa fabrica dois tipos de produtos eletrônicos: um básico (vamos chamar de ) e um mais sofisticado (chamado de ). A produção mensal dessa empresa é dada pela função:
Além disso, tem uma restrição na produção:
Nosso objetivo aqui é descobrir quais quantidades de e vão maximizar a produção da empresa, ou seja, fazer essa função ser o maior possível dentro do limite dado pela restrição. Para isso, vamos precisar usar um método de otimização chamado Multiplicador de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa função . Ela representa a produção total da empresa com base nos números de produtos básicos ( ) e sofisticados ( ). Queremos aumentar essa produção o máximo possível, mas a empresa tem um limite de produção dado pela equação .
Para resolver esse tipo de problema onde queremos maximizar uma função sujeita a uma restrição, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter valores máximos ou mínimos dentro da restrição imposta.

Passo 3

Vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos maximizar com a nossa restrição. A fórmula geral é:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange, que ajuda a incorporar a restrição na otimização.
Então, substituindo :

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos derivar a função de Lagrange em relação a , e , e igualar cada derivada a zero.
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a (a restrição):
Agora, temos um sistema de três equações:

Passo 5

Vamos simplificar as primeiras duas equações para encontrar uma relação entre e .
Dividindo a primeira equação pela segunda:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por e :
Então, temos:

Passo 6

Agora que sabemos que , vamos substituir isso na restrição para encontrar o valor de .
Substituindo na restrição :
Então,

Resposta

As quantidades que maximizam a produção são aproximadamente produtos básicos e produtos sofisticados por mês. Esses valores garantem que a produção total atinja seu valor máximo dentro da restrição .

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