Uma empresa de componentes eletrônicos fabrica dois produtos: um básico e um mais sofisticado. A produção mensal da empresa é dada pela função:
em que
é o número de produtos básicos e
o número de produtos sofisticados feitos mensalmente. Existe um limite para a produção mensal de tais componentes de forma que
.
Determine as quantidades
e
que maximizam a produção dessa empresa e justifique por que os valores de
e
que você encontrou maximizam a produção.
Determine as quantidades
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma empresa fabrica dois tipos de produtos eletrônicos: um básico (vamos chamar de
) e um mais sofisticado (chamado de
). A produção mensal dessa empresa é dada pela função:
Além disso, tem uma restrição na produção:
Nosso objetivo aqui é descobrir quais quantidades de
e
vão maximizar a produção da empresa, ou seja, fazer essa função
ser o maior possível dentro do limite dado pela restrição. Para isso, vamos precisar usar um método de otimização chamado Multiplicador de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é essa função
. Ela representa a produção total da empresa com base nos números de produtos básicos (
) e sofisticados (
). Queremos aumentar essa produção o máximo possível, mas a empresa tem um limite de produção dado pela equação
.
Para resolver esse tipo de problema onde queremos maximizar uma função sujeita a uma restrição, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter valores máximos ou mínimos dentro da restrição imposta.
Passo 3
Vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos maximizar com a nossa restrição. A fórmula geral é:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange, que ajuda a incorporar a restrição na otimização.
Então, substituindo
:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos derivar a função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualar cada derivada a zero.
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
(a restrição):
Agora, temos um sistema de três equações:
Passo 5
Vamos simplificar as primeiras duas equações para encontrar uma relação entre
e
.
Dividindo a primeira equação pela segunda:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
e
:
Então, temos:
Passo 6
Agora que sabemos que
, vamos substituir isso na restrição para encontrar o valor de
.
Substituindo na restrição
:
Então,
Resposta
As quantidades que maximizam a produção são aproximadamente
produtos básicos e
produtos sofisticados por mês. Esses valores garantem que a produção total
atinja seu valor máximo dentro da restrição
.
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes PVIs:
Obtenha e classifique todos os pontos críticos da função
Resolva os seguintes PVIs:
Determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor que faz um ângulo de
com a parte positiva do eixo
.