Determinar a derivada direcional no ponto e na direção indicada:
, na direção do eixo positivo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do eixo positivo de
. Então, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais, gradiente e vetores de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma certa direção nos diz a taxa de variação da função nessa direção específica. Para calcular isso, a gente usa o gradiente da função e o vetor direção normalizado.
Passo 3
Vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, precisamos do vetor direção na qual vamos calcular a derivada direcional. A direção é o eixo positivo de
, então o vetor direção é
.
Passo 6
Antes de usar o vetor direção, precisamos garantir que ele seja um vetor unitário (ou seja, tenha comprimento 1). Calculamos o comprimento do vetor
:
Como já é 1, não precisamos normalizar.
Passo 7
A derivada direcional é calculada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do eixo positivo de
é 3.