Determinar a derivada direcional no ponto e na direção indicada: f(x, y, z)=2 x+3 y-z, P(1,1,-1), na direção do eixo positivo de y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do eixo positivo de . Então, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais, gradiente e vetores de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma certa direção nos diz a taxa de variação da função nessa direção específica. Para calcular isso, a gente usa o gradiente da função e o vetor direção normalizado.

Passo 3

Vamos encontrar o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2, partial fpartial y = 3, partial fpartial z = -1
Então, o gradiente é:
nabla f = (2, 3, -1)

Passo 5

Agora, precisamos do vetor direção na qual vamos calcular a derivada direcional. A direção é o eixo positivo de , então o vetor direção é .

Passo 6

Antes de usar o vetor direção, precisamos garantir que ele seja um vetor unitário (ou seja, tenha comprimento 1). Calculamos o comprimento do vetor |u| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1 :
Como já é 1, não precisamos normalizar.

Passo 7

A derivada direcional é calculada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Du f = nabla f cdot u
Substituindo os valores:
Du f = (2, 3, -1) cdot (0, 1, 0) = 2 times 0 + 3 times 1 + (-1) times 0 = 3

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do eixo positivo de é 3.

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