Determine o volume do sólido, por subtração de dois volumes, delimitado pelos cilindros parabólicos y=1-x^2, y=x^2-1 e pelos planos x+y+z=2,2 x+2 y-z+10=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que é delimitado por duas curvas parabólicas, que são y = 1 - x^2 e y = x^2 - 1, e também por dois planos, que são x + y + z = 2 e 2x + 2y - z + 10 = 0. Vamos usar cálculo de integrais múltiplas para resolver isso, ou seja, vamos dividir o sólido em pedacinhos infinitesimais e somar todo mundo para achar o volume total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as curvas parabólicas se encontram. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração. Igualando 1 - x^2 = x^2 - 1, temos:
1 - x^2 = x^2 - 1 2 = 2x^2 x^2 = 1 x = pm 1
Então, as curvas se interceptam nos pontos x = 1 e x = -1. Isso significa que nossa área de integração no plano xy vai de x = -1 a x = 1.

Passo 3

Agora, para cada x nesse intervalo, o y varia de y = x^2 - 1 até y = 1 - x^2. Então, o intervalo para y é:
x^2 - 1 <= y <= 1 - x^2
Isso nos define a região sobre a qual vamos integrar.

Passo 4

Precisamos agora expressar a altura do sólido, que é determinada pela diferença entre os planos. Vamos resolver cada plano para z:
Para o primeiro plano:
z = 2 - x - y
Para o segundo plano:
z = 2x + 2y + 10
A altura do sólido em cada ponto (x, y) será a diferença entre esses dois valores de z:
A

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla que vai calcular o volume:
V = integral-1^1 integralx^2 - 1^1 - x^2 (-3x - 3y - 8) , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a y:
integralx^2 - 1^1 - x^2 (-3x - 3y - 8) , dy = [ -3x y - 32 y^2 - 8y ]x^2 - 1^1 - x^2
Substituindo os limites:
= [ -3x (1 - x^2) - 32 (1 - x^2)^2 - 8(1 - x^2) ] - [ -3x (x^2 - 1) - 32 (x^2 - 1)^2 - 8(x^2 - 1) ]
Simplificando isso vai nos dar uma expressão em termos de x que precisamos integrar de -1 a 1.

Passo 7

Depois de simplificar a expressão acima, integramos em relação a x:
V = integral-1^1 [Expressão simplificada em x ] , dx ã
Essa integral vai nos dar o volume total do sólido.

Resposta

Após resolver todas as integrais, o volume do sólido é V = 64 unidades cúbicas.

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