Determine o volume do sólido, por subtração de dois volumes, delimitado pelos cilindros parabólicos
e pelos planos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um sólido que é delimitado por duas curvas parabólicas, que são
e
, e também por dois planos, que são
e
. Vamos usar cálculo de integrais múltiplas para resolver isso, ou seja, vamos dividir o sólido em pedacinhos infinitesimais e somar todo mundo para achar o volume total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as curvas parabólicas se encontram. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração. Igualando
, temos:
Então, as curvas se interceptam nos pontos
e
. Isso significa que nossa área de integração no plano
vai de
a
.
Passo 3
Agora, para cada
nesse intervalo, o
varia de
até
. Então, o intervalo para
é:
Isso nos define a região sobre a qual vamos integrar.
Passo 4
Precisamos agora expressar a altura do sólido, que é determinada pela diferença entre os planos. Vamos resolver cada plano para
:
Para o primeiro plano:
Para o segundo plano:
A altura do sólido em cada ponto
será a diferença entre esses dois valores de
:
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla que vai calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando isso vai nos dar uma expressão em termos de
que precisamos integrar de
a
.
Passo 7
Depois de simplificar a expressão acima, integramos em relação a
:
Essa integral vai nos dar o volume total do sólido.
Resposta
Após resolver todas as integrais, o volume do sólido é
unidades cúbicas.