Determine a expressão de (f^(-1))'(f(x)), lembrando que (f^(-1))'(f(x)) = 1 / f'(x): f(x) = sen(ln(x)); e^(-pi/2) < x < e^(pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expressão de para a função , onde está no intervalo . Para isso, vamos usar o conceito de derivada da função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função inversa, , é igual a . Então, precisamos encontrar a derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora que temos , podemos substituir na fórmula da derivada da inversa:

Resposta

A expressão de é:

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