Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:

.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que se move seguindo uma curva definida pela equação para entre e . Nosso objetivo é descobrir o comprimento desse caminho. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem a posição da partícula:

Passo 3

Para encontrar o comprimento do caminho, precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a :

Passo 4

O próximo passo é usar a fórmula do comprimento do arco para curvas parametrizadas:
Aqui, e .

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Isso acontece porque .

Passo 7

Agora, a integral fica bem mais simples:

Passo 8

Calculando a integral:

Passo 9

Multiplicando pelo que estava fora da integral:

Resposta

O comprimento do caminho percorrido pela partícula é .

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Determine os Pontos Críticos das funções abaixo: