Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula que se move seguindo uma curva definida pela equação
para
entre
e
. Nosso objetivo é descobrir o comprimento desse caminho. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem a posição da partícula:
Passo 3
Para encontrar o comprimento do caminho, precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
:
Passo 4
O próximo passo é usar a fórmula do comprimento do arco para curvas parametrizadas:
Aqui,
e
.
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Isso acontece porque
.
Passo 7
Agora, a integral fica bem mais simples:
Passo 8
Calculando a integral:
Passo 9
Multiplicando pelo
que estava fora da integral:
Resposta
O comprimento do caminho percorrido pela partícula é
.
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Determine os Pontos Críticos das funções abaixo: