Determinar a derivada das funções: f(x) = 3x / (4x - 1)

Passo 1

Beleza, a gente tem a função e precisa encontrar a derivada dela. Isso está ligado ao cálculo diferencial, especificamente à regra da derivação de funções racionais (funções que são frações de polinômios). Vamos precisar saber como aplicar a regra do quociente para derivar essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se você tem uma função que é a divisão de duas funções, ou seja, , a derivada dela é dada por:
Então, no nosso caso, e .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de e .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra do quociente com os valores que encontramos:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.

Passo 5

Vamos multiplicar cada termo no numerador:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos simplificar o numerador:
Portanto:

Resposta

A derivada da função é .

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