Nos exercícios 18 a 29 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema para resolver:
Esse exercício está no assunto de Limites, uma parte fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como se comporta a função quando se aproxima de 0 e como isso afeta o produto com .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Isso é importante porque nos dá limites para a função cosseno, independentemente do valor de .

Passo 3

Agora, multiplicamos todos os lados da desigualdade por :
Aqui, estamos aplicando uma regra básica de desigualdade: se , então para . No nosso caso, pode ser positivo ou negativo, mas como está se aproximando de 0, vamos considerar valores próximos a 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das extremidades quando se aproxima de 0:
Ambos os limites das extremidades são iguais a 0.

Passo 5

Como temos:
E ambos os limites das extremidades são iguais a 0, podemos aplicar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Apertação), que nos diz que se e , então .

Resposta

Portanto,

Exercícios relacionados

Determinar a derivada das funções:
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Determinar a derivada das funções:
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
(f)