Nos exercícios 18 a 29 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema para resolver:
Esse exercício está no assunto de Limites, uma parte fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como se comporta a função
quando
se aproxima de 0 e como isso afeta o produto com
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Isso é importante porque nos dá limites para a função cosseno, independentemente do valor de
.
Passo 3
Agora, multiplicamos todos os lados da desigualdade por
:
Aqui, estamos aplicando uma regra básica de desigualdade: se
, então
para
. No nosso caso,
pode ser positivo ou negativo, mas como
está se aproximando de 0, vamos considerar valores próximos a 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites das extremidades quando
se aproxima de 0:
Ambos os limites das extremidades são iguais a 0.
Passo 5
Como temos:
E ambos os limites das extremidades são iguais a 0, podemos aplicar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Apertação), que nos diz que se
e
, então
.
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Determinar a derivada das funções:
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Determinar a derivada das funções:
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
(f)
(f)