Determinar a derivada das seguintes funções:
b) f(x) = 2 x^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de cálculo, mais especificamente, derivadas de funções que têm variáveis no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que é uma técnica útil quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada nos diz como a função está mudando em relação a . Mas, como nossa função tem no expoente, fica meio complicado aplicar as regras de derivação diretamente. Por isso, vamos usar a diferenciação logarítmica.

Passo 3

Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação :

Passo 4

Agora, vamos simplificar o lado direito usando as propriedades dos logaritmos. Sabemos que e que :

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que a derivada de é e a derivada de usa a regra do produto:

Passo 6

Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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