Determinar a derivada das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função
. Isso envolve o conteúdo de cálculo, mais especificamente, derivadas de funções que têm variáveis no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que é uma técnica útil quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada nos diz como a função está mudando em relação a
. Mas, como nossa função tem
no expoente, fica meio complicado aplicar as regras de derivação diretamente. Por isso, vamos usar a diferenciação logarítmica.
Passo 3
Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o lado direito usando as propriedades dos logaritmos. Sabemos que
e que
:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que a derivada de
é
e a derivada de
usa a regra do produto:
Passo 6
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função
é: