Determinar a derivada das seguintes funções:
g) f(x) = (1 + raiz(x)) / (1 - raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso tá dentro do estudo de cálculo diferencial, especificamente usando a regra do quociente. Vamos precisar entender como aplicar essa regra para encontrar a derivada dessa fração envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se a gente tem uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, , a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a gente precisa derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

No nosso caso, o numerador é e o denominador é . Vamos derivar cada um deles:
  • Derivada de : Aqui, a derivada de uma constante é zero, e a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos derivar o denominador :
Novamente, a derivada da constante é zero, e a derivada de é , com sinal negativo por causa do menos.

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, distribuindo:
Simplificando cada termo:
Note que , então:
Agora, combinando termos semelhantes:

Passo 7

Agora, o denominador é . Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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