Determinar a derivada das seguintes funções:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Isso tá dentro do estudo de cálculo diferencial, especificamente usando a regra do quociente. Vamos precisar entender como aplicar essa regra para encontrar a derivada dessa fração envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se a gente tem uma função que é o quociente de duas funções, ou seja,
, a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a gente precisa derivar o numerador
e o denominador
separadamente.
Passo 3
No nosso caso, o numerador
é
e o denominador
é
. Vamos derivar cada um deles:
- Derivada de
: Aqui, a derivada de uma constante é zero, e a derivada de é .
Passo 4
Agora, vamos derivar o denominador
:
Novamente, a derivada da constante é zero, e a derivada de
é
, com sinal negativo por causa do menos.
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, distribuindo:
Primeiro, distribuindo:
Simplificando cada termo:
Note que
, então:
Agora, combinando termos semelhantes:
Passo 7
Agora, o denominador é
. Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função é: