Determinar a derivada das seguintes funções:
j) f(x) = e^x * ln(x) / x

Passo 1

Beleza, temos a função e precisamos achar a derivada dela. Vamos usar as regras de derivação de funções que envolvem produtos e quocientes, além das derivadas das funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Podemos reescrever isso como . Agora, percebemos que estamos lidando com o produto de duas funções: e .

Passo 3

Para derivar , usamos a regra do produto, que diz que . Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando : A derivada de é simplesmente , então .

Passo 5

Agora, vamos derivar . Aqui, usamos a regra do quociente, que para é .

Passo 6

Identificando e . Calculando e .

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:

Passo 8

Agora, voltamos à regra do produto para :

Passo 9

Podemos fatorar e simplificar a expressão:

Resposta

A derivada da função é

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