Determinar a derivada das seguintes funções:
k) f(x) = arctg(x) / arcctg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que envolvem funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação, especialmente a regra do quociente, além das derivadas de e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as derivadas das funções envolvidas:
  1. A derivada de é:
  2. A derivada de é:
Essas fórmulas são essenciais para aplicar a regra do quociente na próxima etapa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivar . A regra do quociente diz que se temos uma função , então sua derivada é:
Aqui, e . Já sabemos as derivadas de e no passo anterior.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do quociente:
Simplificando os sinais:
Fatorando no numerador:
Sabemos que , então:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados