Determine Du f em P.
© f(x, y, z) = 4 x^5 y^2 z^3 ; P(2, -1, 1) ; u = 1/3 i + 2/3 j - 2/3 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada direcional e como calcular o gradiente da função. A derivada direcional mede a taxa de variação da função na direção de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

E a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Agora, avaliamos cada uma dessas derivadas no ponto :

Passo 7

Então, o gradiente de no ponto é:

Passo 8

A derivada direcional é calculada fazendo o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção :

Passo 9

Vamos calcular cada termo:
Somando todos:

Resposta

A derivada direcional no ponto na direção de é -320.

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