Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada direcional e como calcular o gradiente da função. A derivada direcional mede a taxa de variação da função na direção de .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Passo 5
E a derivada parcial de em relação a :
Passo 6
Agora, avaliamos cada uma dessas derivadas no ponto :
Passo 7
Então, o gradiente de no ponto é:
Passo 8
A derivada direcional é calculada fazendo o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção :
Passo 9
Vamos calcular cada termo:
Somando todos:
Resposta
A derivada direcional no ponto na direção de é -320.