Esboce a curva de nível de
que passa por
e desenhe o vetor gradiente em
.
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva de nível da função
que passa pelo ponto
e desenhar o vetor gradiente nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, curvas de nível e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função
é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante, digamos
. Isso significa que para cada ponto na curva,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de
passando pelo ponto
. Substituindo
e
na função:
Então,
.
Passo 4
Com isso, a equação da curva de nível que passa por
é:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:
Passo 5
Então, a curva de nível é a reta
. Para esboçar essa reta, basta traçar uma linha que passa pela origem e tem inclina��ão 2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor gradiente da função
no ponto
. O gradiente de
, denotado por
, é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Então, o vetor gradiente é:
Passo 7
O vetor gradiente
aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à curva de nível no ponto
. Para desenhá-lo, partimos do ponto
e seguimos na direção indicada pelo vetor.
Resposta
A curva de nível que passa pelo ponto
é a reta
. O vetor gradiente em
é
.
Exercícios relacionados
Um ponto move-se sobre uma curva
de modo que o vetor posição
é igual ao vetor tangente
, para todo
. Encontre as equações paramétricas de C.
É verdadeiro ou falso?
(j) Se é monótona, então
é convergente.
(j) Se
Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
e) .
e)
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
c)
c)