Esboce a curva de nível de que passa por e desenhe o vetor gradiente em .
a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva de nível da função que passa pelo ponto e desenhar o vetor gradiente nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, curvas de nível e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, digamos . Isso significa que para cada ponto na curva, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de passando pelo ponto . Substituindo e na função:
Então, .

Passo 4

Com isso, a equação da curva de nível que passa por é:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:

Passo 5

Então, a curva de nível é a reta . Para esboçar essa reta, basta traçar uma linha que passa pela origem e tem inclina��ão 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor gradiente da função no ponto . O gradiente de , denotado por , é dado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então, o vetor gradiente é:

Passo 7

O vetor gradiente aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à curva de nível no ponto . Para desenhá-lo, partimos do ponto e seguimos na direção indicada pelo vetor.

Resposta

A curva de nível que passa pelo ponto é a reta . O vetor gradiente em é .

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