Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos determinar a derivada da função vetorial
. Para resolver isso, precisamos aplicar as regras de derivação para funções trigonométricas e polinomiais em cada componente da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a componente na direção
, que é
. Usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, derivamos a componente na direção
, que é
. A derivada de
é:
Passo 4
Por último, derivamos a componente na direção
, que é
. Aplicamos novamente a regra da cadeia:
Passo 5
Vamos determinar a derivada da função vetorial
. Para isso, precisamos saber como derivar produtos de funções e funções exponenciais em cada componente da função vetorial.
Passo 6
Primeiro, derivamos a componente na direção
, que é
. Vamos usar a regra do produto:
Passo 7
Agora, derivamos a componente na direção
, que é
. A derivada de uma função exponencial é:
Passo 8
Vamos determinar a derivada da função vetorial
. Precisamos aplicar as regras de derivação para funções polinomiais e racionais em cada componente da função vetorial.
Passo 9
Primeiro, derivamos a componente na direção
, que é
. A derivada é:
Passo 10
Agora, derivamos a componente na direção
, que é
. A derivada é:
Passo 11
Por último, derivamos a componente na direção
, que é
. A derivada de uma função racional
é:
Passo 12
Vamos determinar a derivada da função vetorial
. Aqui, precisamos derivar funções exponenciais e constantes em cada componente da função vetorial.
Passo 13
Primeiro, derivamos a componente na direção
, que é
. A derivada é:
Passo 14
Agora, derivamos a componente na direção
, que é
. A derivada é:
Passo 15
Por último, derivamos a componente na direção
, que é uma constante
. A derivada de uma constante é zero:
Resposta
A derivada da função vetorial
é:
Exercícios relacionados
Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:
a) em
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) .
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Se
é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula
perpendicular a
.
a)
b) .
a)
b)
Uma partícula se move no espaço com vetor posição
. Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante
qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de
.
a)
b)
c)
d) .
a)
b)
c)
d)
Sejam
e
dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
a)
b) .
a)
b)