Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
a) f(t) = cos^3(t) i + tg(t) j + sen^2(t) k
b) g(t) = sen(t) cos(t) i + e^(-2t) j
c) h(t) = (2-t) i + t^3 j - 1/t k
d) f(t) = e^(-t) * i + e^(-2t) * j + k

Passo 1

Vamos determinar a derivada da função vetorial . Para resolver isso, precisamos aplicar as regras de derivação para funções trigonométricas e polinomiais em cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a componente na direção , que é . Usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, derivamos a componente na direção , que é . A derivada de é:

Passo 4

Por último, derivamos a componente na direção , que é . Aplicamos novamente a regra da cadeia:

Passo 5

Vamos determinar a derivada da função vetorial . Para isso, precisamos saber como derivar produtos de funções e funções exponenciais em cada componente da função vetorial.

Passo 6

Primeiro, derivamos a componente na direção , que é . Vamos usar a regra do produto:

Passo 7

Agora, derivamos a componente na direção , que é . A derivada de uma função exponencial é:

Passo 8

Vamos determinar a derivada da função vetorial . Precisamos aplicar as regras de derivação para funções polinomiais e racionais em cada componente da função vetorial.

Passo 9

Primeiro, derivamos a componente na direção , que é . A derivada é:

Passo 10

Agora, derivamos a componente na direção , que é . A derivada é:

Passo 11

Por último, derivamos a componente na direção , que é . A derivada de uma função racional é:

Passo 12

Vamos determinar a derivada da função vetorial . Aqui, precisamos derivar funções exponenciais e constantes em cada componente da função vetorial.

Passo 13

Primeiro, derivamos a componente na direção , que é . A derivada é:

Passo 14

Agora, derivamos a componente na direção , que é . A derivada é:

Passo 15

Por último, derivamos a componente na direção , que é uma constante . A derivada de uma constante é zero:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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