Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
(a) f(t) = t cos(t) i + t^2 j - t k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de uma função vetorial. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas aplicadas a funções que têm várias componentes, tipo vetores. Pra isso, vamos precisar aplicar as regras básicas de derivação em cada uma das componentes dessa função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial . Ela está escrita como:
Aqui, temos três componentes:
  • Na direção :
  • Na direção :
  • Na direção :

Passo 3

Agora, vamos derivar a componente na direção , que é . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Sabemos que e . Então:

Passo 4

Vamos derivar agora a componente na direção , que é . A derivada de em relação a é simples:

Passo 5

Por último, vamos derivar a componente na direção , que é . A derivada de em relação a é:

Resposta

Juntando todas as componentes derivadas, a derivada da função vetorial é:

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