Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de uma função vetorial. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas aplicadas a funções que têm várias componentes, tipo vetores. Pra isso, vamos precisar aplicar as regras básicas de derivação em cada uma das componentes dessa função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial
. Ela está escrita como:
Aqui, temos três componentes:
- Na direção
: - Na direção
: - Na direção
:
Passo 3
Agora, vamos derivar a componente na direção
, que é
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Sabemos que
e
. Então:
Passo 4
Vamos derivar agora a componente na direção
, que é
. A derivada de
em relação a
é simples:
Passo 5
Por último, vamos derivar a componente na direção
, que é
. A derivada de
em relação a
é:
Resposta
Juntando todas as componentes derivadas, a derivada da função vetorial
é: