Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função
, o ponto
onde vamos calcular, e o vetor de direção
. O que precisamos encontrar é a derivada direcional dessa função nesse ponto específico, na direção desse vetor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como o gradiente e o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e a
. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando
:
Temos
. Usando a regra do produto:
Calculando
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Para
em
:
Para
em
:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
Agora, vamos usar o vetor direção
. Primeiro, precisamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário na mesma direção.
O comprimento de
é:
O vetor unitário
é então:
Passo 6
A derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
é
.