Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
© g(x, y) = x * e^(x * y), (-3, 0), v = 2 * i + 3 * j

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função , o ponto onde vamos calcular, e o vetor de direção . O que precisamos encontrar é a derivada direcional dessa função nesse ponto específico, na direção desse vetor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como o gradiente e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e a . Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando :
Temos . Usando a regra do produto:
Calculando :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Para em :
Para em :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, vamos usar o vetor direção . Primeiro, precisamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário na mesma direção.
O comprimento de é:
O vetor unitário é então:

Passo 6

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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