Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Passo 1
Então, você quer saber se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Vamos usar algumas ferramentas de cálculo de séries para descobrir isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional.
Convergência absoluta: Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge.
Convergência condicional: A série converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergirem, então a série diverge.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da série para entender melhor o comportamento conforme 2 n^2+1n^3+3 = 2n^2n^3 cdot 1 + 12n^21 + 3n^3 approx 2n cresce. Observamos que:
À medida que fica grande, os termos menores ( e ) se tornam insignificantes, então a expressão se aproxima de .
Passo 5
Sabemos que a série sumn=1^infty 2 n^2+1n^3+3 diver>= é a famosa série harmônica, que diverge. Como a nossa série de valores absolutos se comporta de maneira semelhante a , podemos concluir que:
Isso significa que a série original não converge absolutamente.
Passo 6
Como a série original tem termos alternados devido ao , podemos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz) para verificar se ela converge condicionalmente. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
é decrescente: para todo grande o suficiente.
.
Passo 7
Vamos verificar essas condições para limn to infty 2 n^2+1n^3+3 = limn to infty 2n^2n^3 = limn to infty 2n = 0 :
Decrescente: À medida que aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador , fazendo com que diminua.