Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge: sumn=1^infty(-1)^n 2 n^2+1n^3+3

Passo 1

Então, você quer saber se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Vamos usar algumas ferramentas de cálculo de séries para descobrir isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional.
  • Convergência absoluta: Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge.
  • Convergência condicional: A série converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergirem, então a série diverge.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n 2 n^2+1n^3+3 | = sumn=1^infty 2 n^2+1n^3+3

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da série para entender melhor o comportamento conforme 2 n^2+1n^3+3 = 2n^2n^3 cdot 1 + 12n^21 + 3n^3 approx 2n cresce. Observamos que:
À medida que fica grande, os termos menores ( e ) se tornam insignificantes, então a expressão se aproxima de .

Passo 5

Sabemos que a série sumn=1^infty 2 n^2+1n^3+3 diver>= é a famosa série harmônica, que diverge. Como a nossa série de valores absolutos se comporta de maneira semelhante a , podemos concluir que:
Isso significa que a série original não converge absolutamente.

Passo 6

Como a série original tem termos alternados devido ao , podemos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz) para verificar se ela converge condicionalmente. Esse teste diz que uma série alternada converge se:
  1. é decrescente: para todo grande o suficiente.
  2. .

Passo 7

Vamos verificar essas condições para limn to infty 2 n^2+1n^3+3 = limn to infty 2n^2n^3 = limn to infty 2n = 0 :
  1. Decrescente: À medida que aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador , fazendo com que diminua.
  2. Limite:
Ambas as condições são satisfeitas.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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