Discuta a continuidade da função no intervalo fechado. Se houver qualquer descontinuidade, determine se é removível ou não.
33. Função
h(x) = f(g(x)), f(x) = 1/raiz(x), g(x) = x - 1, x > 1

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você me enviou. A gente precisa discutir a continuidade da função no intervalo fechado, ou seja, verificar se a função é contínua em todo o intervalo considerado. Se tiver alguma descontinuidade, a gente também vai determinar se ela é removível ou não. Para isso, vamos usar conceitos de funções compostas e continuidade de funções básicas como e , onde .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Mais formalmente, para todo ponto no domínio da função, o limite de quando se aproxima de deve ser igual a .

Passo 3

Agora, vamos analisar as funções e separadamente.
A função é uma função linear e, portanto, é contínua para todo real. Isso significa que não tem descontinuidades.

Passo 4

Já a função precisa de um olhar mais atento. O denominador está definido somente para , pois não dá para extrair raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais. Além disso, a função se torna infinita quando se aproxima de 0, ou seja, temos uma descontinuidade no ponto .

Passo 5

Como , vamos compor as funções. Substituindo em , temos:

Passo 6

Agora, vamos determinar o domínio de . Para que esteja definida, precisamos que , ou seja, . Isso já está especificado no enunciado.

Passo 7

Em seguida, verificamos a continuidade de no intervalo fechado considerado. Supondo que o intervalo seja onde , já que .
A função é contínua para todos porque é a composição de funções contínuas em seu domínio.

Passo 8

No entanto, vamos considerar o limite quando se aproxima de 1 por valores maiores, ou seja, . Nesse caso:
Esse comportamento indica que há uma descontinuidade infinita no ponto .

Passo 9

Conclusão: A função é contínua para todo no intervalo considerado e apresenta uma descontinuidade no ponto , que não é removível, pois o limite tende ao infinito.

Resposta

A função é contínua para todo no intervalo fechado considerado. No ponto há uma descontinuidade infinita, que não é removível.

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