Discuta a continuidade da função no intervalo fechado. Se houver qualquer descontinuidade, determine se é removível ou não.
33. Função
33. Função
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você me enviou. A gente precisa discutir a continuidade da função
no intervalo fechado, ou seja, verificar se a função é contínua em todo o intervalo considerado. Se tiver alguma descontinuidade, a gente também vai determinar se ela é removível ou não. Para isso, vamos usar conceitos de funções compostas e continuidade de funções básicas como
e
, onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Mais formalmente, para todo ponto
no domínio da função, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar as funções
e
separadamente.
A função
é uma função linear e, portanto, é contínua para todo
real. Isso significa que não tem descontinuidades.
Passo 4
Já a função
precisa de um olhar mais atento. O denominador
está definido somente para
, pois não dá para extrair raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais. Além disso, a função se torna infinita quando
se aproxima de 0, ou seja, temos uma descontinuidade no ponto
.
Passo 5
Como
, vamos compor as funções. Substituindo
em
, temos:
Passo 6
Agora, vamos determinar o domínio de
. Para que
esteja definida, precisamos que
, ou seja,
. Isso já está especificado no enunciado.
Passo 7
Em seguida, verificamos a continuidade de
no intervalo fechado considerado. Supondo que o intervalo seja
onde
, já que
.
A função
é contínua para todos
porque é a composição de funções contínuas em seu domínio.
Passo 8
No entanto, vamos considerar o limite quando
se aproxima de 1 por valores maiores, ou seja,
. Nesse caso:
Esse comportamento indica que há uma descontinuidade infinita no ponto
.
Passo 9
Conclusão: A função
é contínua para todo
no intervalo considerado e apresenta uma descontinuidade no ponto
, que não é removível, pois o limite tende ao infinito.
Resposta
A função
é contínua para todo
no intervalo fechado considerado. No ponto
há uma descontinuidade infinita, que não é removível.