Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais: g(t) = sen(t) cos(t) i + e^(-2t) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função vetorial . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e exponenciais, além de entender que a derivada de uma função vetorial é a derivada de cada uma de suas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função vetorial: . Essa é uma função que multiplica duas funções trigonométricas, então vamos precisar usar a regra do produto para derivar isso. A regra do produto diz que se temos duas funções u(t) e v(t), a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto na nossa primeira componente:
  • Seja , então .
  • Seja , então .
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora vamos para a segunda componente da função vetorial: e^(-2 t). Essa é uma função exponencial, e a derivada de em relação a t é , onde k é uma constante.
Neste caso, , então:

Passo 5

Agora que derivamos cada componente, vamos montar a derivada total da função vetorial . Basta colocar as derivadas das componentes nas direções correspondentes:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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