Determine uma equação do plano tangente à superfície paramétrica dada no ponto dado.
Ponto
.
Passo 1
Estamos com um exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente a uma superfície paramétrica no ponto
. A superfície é dada pela função vetorial:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de funções vetoriais, encontrar vetores tangentes à superfície e, com eles, determinar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão os vetores tangentes à superfície nas direções
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
. Para isso, precisamos encontrar os valores de
e
que correspondem a esse ponto.
Igualando
a
:
A solução óbvia aqui é
e
.
Passo 4
Substituindo
e
nas derivadas parciais:
Portanto, os vetores tangentes no ponto
são
e
.
Passo 5
Para achar a normal ao plano tangente, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores tangentes:
Então, o vetor normal ao plano é
.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: