Determine uma equação do plano tangente à superfície paramétrica dada no ponto dado. r(u, v) = u*v*i + u*e^(v)*j + v*e^(u)*k Ponto P = (0, 0, 0).

Passo 1

Estamos com um exercício que pede para encontrar a equação do plano tangente a uma superfície paramétrica no ponto . A superfície é dada pela função vetorial:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de funções vetoriais, encontrar vetores tangentes à superfície e, com eles, determinar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos dão os vetores tangentes à superfície nas direções e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto . Para isso, precisamos encontrar os valores de e que correspondem a esse ponto.
Igualando a :
A solução óbvia aqui é e .

Passo 4

Substituindo e nas derivadas parciais:
Portanto, os vetores tangentes no ponto são e .

Passo 5

Para achar a normal ao plano tangente, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores tangentes:
Então, o vetor normal ao plano é .

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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